440 
V. Abschnitt. § 5. Systeme von Differentialgleichungen 
Integralkurven sind also alle Kreise, welche die ¿'-Achse im Ursprünge 
berühren; dann zu (cc) gehört ein Ebenenbüschel durch die ¿-Achse, zu 
(ß) ein System von Kugeln, das die ^¿-Ebene im Ursprünge berührt; jede 
Ebene des ersteren bestimmt mit jeder Kugel des letzteren eine die ¿-Achse 
im Ursprünge berührenden Kreis. Auch hier lassen sich andere Orts 
flächen der Kreise neben den genannten Kugeln als den einfachsten denken, 
der vollständigen Lösung könnten eben noch unbegrenzt viele andere 
Formen gegeben werden. 
4. Die Gleichungen ~ = ax -)- by -f c 
d j t = a'x + h’y -f c 
zwischen den abhängigen Variablen x, y und der unabhängigen t lassen 
sich zu der einen Gleichung 
d{X 4^- y) = (a + a'k)x + (b -f b'k)y -f c + c'k 
verbinden und diese wird, wenn man über das noch willkürliche k so ver 
fügt, daß b 4. Vk = k(a + ak) («) 
wird, zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit der abhängigen 
Variablen x -j- ky, nämlich 
— (« -f- a'k)(x -}- ky) + c fl- c’k\ 
trennt man hier die Variablen und vollzieht die Integration, so kommt 
man zu ( a + a 'k)(x + ky) + e + c'k = Ael a + a '*>*. (ß) 
Nun aber gibt es zwei Werte k, welche der Gleichung (a) genügen; 
heißen sie k lf k 2 , so lassen sich mit ihnen zwei Gleichungen der Form (ß) 
an setzen und diese bestimmen x, y als Funktionen von t und zwei will 
kürlichen Konstanten. 
Für die speziellen Gleichungen 
d Oö 
dt 
% + y "f 1 
dy 
dt 
= so - y ~ 
1 
beispielsweise lautet die Gleichung (a) 
1 — k = ¿(1 + k)