236. Integratio» durch Substitutio» 
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wichtigsten Hilfsmittel zur Gewinnung neuer Integrationsformeln. bzw. 
zur Ausrechnung oder Vereinfachung vorgelegter Integrale. 
Es liege das bestimmte Integral 
b 
I f(x)dx (15) 
ft 
vor; anstelle der Variablen x sei eine neue Variable t durch die Gleichung 
x = (p(f) (16) 
einzuführen, von der wir voraussetzen, daß sie x durch t sowohl wie t 
durch x eindeutig bestimmt, so daß neben q auch die inverse Funktion 
t — i>(x) (16*) 
eindeutig ist. 
Mit Hilfe der Wertreihe 
a — x 0 , x lt Ta. 
■ ■ ■) X H = ^ 
und der in die Teilintervalle (# 0 , x x ), 
j (x n _!, xj eingescho- 
benen Zwischen werte | 1? | 2 , . . 
t 
•7 ’Sn 
bilden wir die Summe 
2( X v X r 
-X )f(V 
(H) 
i 
und nehmen an dieser die Transformation vor. 
Vermöge der über die Transformationsgleichung (16) getroffenen 
Annahmen gehört zu obiger Reihe der Werte von x eine ebenfalls arith 
metisch (steigend oder fallend) geordnete Wertreihe 
« = h- hl h, ■ • •; h = ß 
und es entsprechen den Zwischenwerten auch hier Zwischen werte 
T 17 T 2? • • •» V 
Dabei ist für jeden Zeigerwert v 
<p(Q, h = j 
und insbesondere auch a — iß(a), ß — %>(b): 
daraus folgt weiter mit Hilfe des Mittelwertsatzes (38), daß 
= <P(Q ~ <f(K-x) = (h-h-i)<p'( T v)> 
wobei rf einen bestimmten Wert von ¿aus dem Intervalle (t v _ t , t y ) vorstellt. 
Hiernach verwandelt sich die Summe (17) in die gleichwertige 
2(f v - h- ~x)tVp (*,.)] <p' «);