30 I. Abschnitt. § 2. Grundformeln und Methoden der Integralrechnung 
weil aber in betreff der Grenzwertbestimmung die ursprünglichen Zwi 
schen werte vollständig willkürlich sind, so gilt dies auch für die t v , 
und daher darf von vornherein die Wahl so getroffen gedacht werden, 
daß jedes t v = 
dann aber lautet die transformierte Summe 
jfU“ (18) 
1 
Ihr Grenzwert gibt wie jener von (17) den Wert des Integrals (15), da 
her ist ft ß 
I f(x)dx—j f\cp(fj\(p'(t)dt. (19) 
a a 
Bei der durch (16) vorgezeichneten Transformation eines bestimmten 
Integrals hat man also unter dem Integralzeichen x durch <p(t), dx durch 
<p (t) dt zu ersetzen und als Grenzen die den ursprünglichen Grenzen a, b 
zugeordneten Werte a, ß der neuen Variablen zu nehmen. 
Wenn die Transformationsgleichung den hier vorausgesetzten Be 
dingungen nicht entspricht, so muß das Verfahren mit Vorsicht ange 
wendet werden. Man hat zu prüfen, in welcher Weise sich t ändert, 
während x das Intervall (a, b) stetig durchläuft. So oft t den Sinn der 
Änderung wechselt, ist eine Spaltung des transformierten Integrals er 
forderlich. Beispiele werden es klar machen. 
Einer speziellen Transformation sei hier besonders gedacht: sie be 
steht in der bloßen Zeichenänderung der Integrationsvariäblen, gleichbe 
deutend mit der Substitution x = — t. 
Man findet durch Anwendung der Formel (19) 
j f(x)dx /*(— x)dx. (20) 
a —b 
Hieraus resultieren zwei häufig gebrauchte Formeln. Ist nämlich 
f(x) eine gerade Funktion, also f(— x) = f(x), so gilt 
J f(x)dx =Jf(x) dx +J*\f(x)dx, 
— a —a 0 
und weil vermöge (20) 
f f(x)dx = J f(— x)dx = j f(x)dx,