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Y. Abschnitt. § 6. Differentialgleichungen höherer Ordnung 
882. Allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung. 
Im allgemeinen führen Probleme, in welchen Krümmungseigenschaften 
ebener Kurven zum Ausdruck kommen, auf Gleichungen von der Form 
f(x, y, y', y") = 0; die Lösung kann dann nur unter besonderen Voraus 
setzungen auf Quadraturen zurückgeführt werden. Nachstehend sind zwei 
Probleme dieser Art behandelt. 
I. Die oo 2 Krümmungsmittelpunkte eines zweifach unendlichen Kur- 
xensystems können auch so geordnet werden, daß man diejenigen zu 
sammenfaßt, die zu einem Punkte M(x/y) der Ebene gehören; dadurch 
wird jedem Punkte der Ebene eine Kurve zugeordnet. Wie lautet nun 
die Differentialgleichung eines zweifach unendlichen Kurvensystems, dem 
ein gegebenes ebenso mächtiges Kurvensystem in dem eben erklärten 
Sinne zugeordnet ist? 
Es sei F(%, r h x,y)=>0 (A) 
die Gleichung des gegebenen Kurvensystems. Zu dem Linienelement 
xjy/y r des gesuchten Systems gehört ein Krümmungselement mit dem 
Krümm ungsmittelpunkt 
(1+W 
n s =y + 
1 + y 
y ' • - ■ y 
und dieser muß auf der dem Punkte xjy zugeordneten Kurve des gege 
benen Systems liegen; mithin ist 
(1 + y' i )y' 
~ y" ’ 
die gesuchte Differentialgleichung. 
f{a 
V + 
i + y"‘ 
y" 
7 Z, y) 
0 
(B) 
Sollen insbesondere die zu einem Punkt xf y gehörigen Krümmungs- 
^ j kreise ein Kreisbüschel bilden, so ist der Ort ihrer Mittel 
punkte eine Gerade (Fig. 239); es hat dann die Gleichung 
(A) die Form: a% + bi] + c = 0, (A*) 
\ wobei a, b, c gegebene Funktionen von x, y sind. Die 
i Differentialgleichung des so gearteten Kurvensystems 
lautet also: 
Fig. J39. 
nach y" aufgelöst: 
. a 
a\x 
(l + y*)y' 
V 
) + i{y + 1 ^)+o-o, 
!/" = (! + y s )(«y - ß), 
(B*) 
worm cc 
hängen. 
ax -\-by-\-c 
7 ß~ 
ax-\-by-\-c 
im allgemeinen von x und y ab-