237. Beispiele 
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so ist j*f(x)dx = 2 f f{x)dx, (/'(— x) = /'(£))• 
—« 0 
Ist dagegen/’(¿r) eine ungerade Funktion, so daß /’(— x) 
J*f{x)dx = J /*(— = ~ t f f(. x )d x > 
— a 0 0 
daher ff(x)dx = 0, (/■(— a;) = — fix)). 
(21) 
■ /‘(#), so ist 
(22) 
Es mag noch der Übergang von bestimmten zu unbestimmten In 
tegralen vollzogen werden; denkt man sich die obere Grenze b, also auch 
ß variabel, so kommt man unmittelbar zu 
J f(x)dx =ff[y(t)](p , (t)dt. 
(19*) 
Man kann dieser Formel auch die folgende Deutung geben: Aus 
jeder Integralformel läßt sich eine neue Formel ableiten, indem x durch 
eine Funktion von x und dx durch deren Differential ersetzt wird. 
„w -f 1 
So ergibt sich aus der Grundformel J x n dx 
q—j- -f C die allge 
meinere 
aus 
J<p{x) n y(x)dx = 
J*-~ — lx + C auf demselben Wege 
usw. Mitunter läßt sich bei einem vorgelegten Integral eine solche ver 
allgemeinerte Grundformel durch bloßes Zufögen eines konstanten Fak 
tors herstellen, die Integration kann dann unmittelbar vollzogen werden. 
Die Auffindung passender Substitutionen bildet einen der wichtig 
sten Kunstgriffe der Integralrechnung und erfordert vielfache Übung. 
237. Beispiele. 1. Mit Hilfe der Grundformeln ergeben sich fol 
gende Integrale: 
/ 
f (ax + b) n dx = ~ J(ax + b) n d{ax + b) = + C, 
cos”# sin xdx 
J cos” 
xd cosa: 
t n + 1 v 
n-f 1 
C, in 4= — 1)?