384. Fundamentalsystem von partikulären Integralen 
463 
zienten der Differentialgleichung ein besonderes Verhalten zeigen — be 
liebig gewählt werden darf, so kann die erwähnte Bedingung auch dahin 
ausgesprochen werden, daß die Determinante D nicht identisch Null 
sein darf. 
Hiernach gilt der Satz: Das aus den partikulären Integralen y X} y 2 ,.. 
y n zusammengesetzte Integral 
V = CiVi + c 2 y 2 + • • • + e n y n (7) 
ist nur dann das allgemeine Integral der Gleichung (2), wenn die Deter 
minante D jener Integrale nicht identisch verschwindet. 
Ein solches System von partikulären Integralen nemit man ein Fun 
damentalsystem und y lt y 2 ,. . ., y n seine Elemente. 1 ) 
Ist ein Fundamentalsystem y l} y 2 ,.. y n gegeben, so ist damit die zu 
gehörige homogene Differentialgleichung bestimmt. 
Schreibt mail sie nämlich in der Form 
y {n) + P l y {H ~ V) -\ P n y ~ 0, (8) 
so bestehen für alle Werte von x die Gleichungen: 
yx {n) + Px yx {n ~ X) + • • • + P n y x = 0 
*/ 2 (n) + M 2 ( ” _1) + h Pn l h = 0 
—+ p n y* = 0 
und durch diese sind, weil ihre Determinante D =j= 0, die Koeffizienten 
p x , p<n, . . p n bestimmt. Man kann übrigens das Resultat der Elimina 
tion von jpj, p 2 , . . p n aus (8) mit Hilfe der Gleichungen (9) auch durch 
y{n) 
ff”- 1 ) . 
• y 
y¿ n) 
y i {n ~ 1) - 
• yx 
y, w 
yf n ~ l) - • 
• Sb 
yn n ~ V) ' ' 
’ y n 
1) Man kann die Eigenschaft eines Fundamentalsystems auch dahin aus 
sprechen, daß seine Elemente , y i ,..y n voneinander linear unabhängig sein 
müssen, d. h. daß zwischen ihnen keine für alle Werte von x geltende homogene 
lineare Beziehung mit konstanten Koeffizienten bestehen dürfe. — Den eben aus 
gesprochenen Satz über die Zusammensetzung des allgemeinen Integrals einer ho 
mogenen linearen Differentialgleichung hat zuerst J. Lagrange (1765) nachge 
wiesen. Die Einführung des Terminus „Fundamentalsystem“ wird L. Fuchs (1866) 
zugeschrieben.