387. Homogene Gleichungen mit konstanten Koeffizienten 467 
Setzt man dies in (2) ein, so entsteht das allgemeine Integral 
J ~~Yx 
y = c x y x + c 2 y K 
dx. 
(o) 
Durch Vergleichung mit dem allgemeinen Ausdrucke c x y x -p c 2 y 2 ergibt 
sich hieraus für das y x zu einem Fundamentalsystem ergänzende zweite 
Integral der Ausdruck 
fe~f^ dx 7 
Ih - VlJ (lX - 
(6) 
Zur Erläuterung möge dieser Vorgang an der Gleichung 
xy"-(3 + x)y’+3y = 0 (7) 
ausgeführt werden. Da die Koeffizientensumme = 0 ist, so wird die Glei 
chung offenbar durch y x = e* befriedigt. Auf Grund dieser Kenntnis gibt 
die Formel (6) 
r -%.+P± 
— I p. J x 
Vs 
dx = e* 
r* j x 3 e~ x dx = — (rr 3 + 3a5 2 + Qx + 6); 
demnach ist das allgemeine Integral von (7) 
y = c x e x + c 2 (x 3 -P 3# 2 -P 6x -f- 6). 
387. Homogene Gleichungen mit konstantenKoeffizienten. 
Unter den homogenen linearen Differentialgleichungen verdienen diejeni 
gen mit konstanten Koeffizienten besondere Beachtung; ihre Lösung führt 
auf ein algebraisches Problem, auf die Bestimmung der Wurzeln einer 
algebraischen Gleichung. 
Die Gleichung 
y {n) -p a x i/ n - 1} + a 2 y( n ~V -j P a n y = 0, (1) 
worin a x , a 2 , . . a n gegebene (reelle) Zahlen sind, wird nämlich durch 
jede Funktion befriedigt, welche die Eigenschaft 
y = ry 
besitzt, sobald die Konstante r so bestimmt wird, daß 
r n -p a x r n ~ 1 + a 2 r n ~ 2 H P a n = 0 
ist. Es ist nämlich eine Folge von (2), daß 
V" = rhj, y" = r 3 y, . . ., yW = r n y; 
die Einsetzung von (2) und (4) in (1) gibt aber 
y[r n + a x r n - x + a 2 r n ~ 3 -\ P a n ] = 0, 
(2) 
(3) 
W 
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