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Y. Abschnitt. § 7. Lineare Differentialgleichungen 
welche die doppelt zählenden Wurzeln ± i hat; infolgedessen ist das all 
gemeine Integral y = (c A -f c 2 x) cos x + (c s -f c 4 x) sin x. 
4. Jede lineare homogene Gleichung von der Form 
A 0 x n yW + A 1 x n ~ 1 y( n ~ 1 ) + ... + A n y = 0 (9) 
kann in eine homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten umge 
wandelt werden, und zwar wird dies durch die Transformation 
x — e^, y = y erreicht. (10) 
Vermöge dieser Transformation wird nämlich (42, (2)) 
y = er*y 
y" = — y) 
y" — e~ 3 ^(y"— Sy" 2 7]') 
wobei y, y", 7]"',... die Differentialquotienten von y bezüglich der neuen 
unabhängigen Variablen g bedeuten. Nach Einführung dieser Ausdrücke 
nimmt (9) schließlich die Form 
a 0 7jW -f- a 1 rf n ~ 1 '> -1 \- a n 7j = 0 
an; in dem allgemeinen Integrale hat man dann g durch Ix und y durch 
y zu ersetzen. 
Als erstes Beispiel hierzu diene die Gleichung 
2x 3 y" + 3 xy — 3 ?/ == 0; 
sie verwandelt sich in 2y -f- y— 3>? = 0, 
und die zugehörige charakteristische Gleichung 2r* + r — 3 = 0 besitzt 
die Wurzeln 1 und — f-; demnach ist 
n — G i<$ + c 2 e~ - e 
das allgemeine Integral, das in den ursprünglichen Variablen lautet: 
V = c i x + 17=' 
Y £C° 
Als zweites Beispiel wählen wir die Gleichung 
x 3 y" — Qy = 0; für ihre Transformierte 
Tj'" — 3 7j" 27]' — 6 7] = 0 
ergibt sich mittels der Wurzeln von r 3 — Sr 2 fi- 2r — 6 = 0 das Integral 
rj = c x e 3 ^ -f- c 2 cos g]/2 -f c 3 sin g]/2 ;