389. Beispiele 
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folglich ist y = c x x d -f- ^2 cos V^ x + c s sin}/2lx 
das allgemeine Integral der ursprünglichen Gleichung. 
5. Die Differentialgleichung 
y" -f- 2hy + n 1 2 * y — 0 (n 2 > h 2 ) 
zu integrieren und jenes partikuläre Integral zu bestimmen, das den An 
fangsbedingungen x = 0 } y — y 0 , y = 0 entspricht. 1 ) 
Aus der charakteristischen Gleichung 
r 2 + 2 hr -f n 2 = 0 
ergeben sich die Wurzeln —h wenn zur Abkürzung Yn 2 — h 2 = n x 
gesetzt wird; hiermit erhält man das allgemeine Integral 
y = e~ hx \_Ao,o$ n x x + B sin n x x\; 
man bestimme daraus 
y = — he~ hx [Acos n x x + Bsinn x x] + e~ hx [— n x A sin n x x + n x Bcos vi x x]; 
dann führen die Anfangsbedingungen zu den Ansätzen 
Vo - A 
0 = — hA -f n x B, 
woraus A = y 0 , B= ~y 0 folgt. Hiermit ist die gesuchte partikuläre 
Lösung 1 r h . i 
y = y 0 e~ hx I cos n x x -f- — sin n x xj • 
6. Das Integral der Gleichung 2 ) 
y IV = a *y 
ergibt sich unmittelbar in der Gestalt 
y = G x e ax + G 2 e~ ax + C 3 cos a,x -j- G^sinax. 
1) Die Differentialgleichung tritt in der Theorie des Schiffes auf. Encykl. d. 
math. Wissenßch. IV 2 I, p. 542. — Während y" n*y = 0 die Differentialglei 
chung der freien schwingenden Bewegung ist, entspringt die obige, durch das 
Glied % 2hy' (/¿^>0) erweiterte Differentialgleichung bei der getroffenen Annahme 
n* >■ h s einer schwach gedämpften schwingenden Bewegung. 
2) Diese Form hat die Differentialgleichung für die Durchbiegung einer Welle: 
d 4 y 
dx 4 
v V 10 
_ JE y = °’ 
worin üo die Winkelgeschwindigkeit bedeutet, mit der sich die Welle um ihre 
Zentrallinie, die x-Achse dreht, y die Masse der Welle pro Längeneinheit und 
JE ihre Biegungssteifigkeit.