478 
V. Abschnitt. § 7. Lineare Differentialgleichungen 
39Ö. Integration einer nicht homogenen Gleichung. Me 
thode der Variation der Konstanten. Die Integration einer nicht 
homogenen linearen Differentialgleichung ist auf Quadraturen zurückführ- 
bar, sobald man das allgemeine Integral oder, was auf dasselbe hinaus 
kommt, ein Fundamentalsystem von partikulären Integralen der zugehö 
rigen homogenen Gleichung kennt. Diese wichtige Tatsache läßt sich mit 
Hilfe eines Verfahrens erweisen, welches Lagrange 1 ) angegeben und als 
Methode der Variation der Konstanten bezeichnet hat; der Grund für diese 
Bezeichnung wird sich sofort ergeben. 
Es sei i/ (n) + p t H h p n y *= p (1) 
n 
oder kurz ^p u y^ n ~^ —p (mit der Festsetzung, daß p Q = 1) die zur Inte- 
o 
gration vorgelegte nicht homogene Gleichung, und von der zugehörigen 
homogenen Gleichung yM p *) -f . . . -f- p n y = 0 (2) 
oder 'Sw a y( n ~/- 1 ') — 0 sei ein Fundaraentalsystem partikulärer Integrale 
Vi y V*, • • • > Vn bekannt, mit dessen Hilfe daher dessen allgemeines Integral 
V = c xVi + c 2 y 2 + ■ • • + c n y n (3) 
zusammengesetzt werden kann. 
Das allgemeine Integral y von (1) kann man durch die rechte Seite 
von (3) auch dargestellt denken, wenn man an die Stelle der Konstanten 
c t , c. 2 , . . ., c n entsprechend bestimmte Funktionen u 1} w 2 , . . ., u n von X 
bringt, die natürlich die notwendige Anzahl willkürlicher Konstanten 
enthalten müssen, so daß 
n 
•y = % y x + u 2 y 2 4 b u n y n — 2 u vy* ( 4 ) 
Ja, eine solche Darstellung wäre noch auf unzählig viele Arten ausführ 
bar, wenn man die Funktionen u x , w 3 ,. . ., u n nicht einer entsprechenden 
Anzahl von Bedingungen unterwürfe; solcher Bedingungen dürfen n — 1 
frei gewählt werden, vermöge deren n — 1 der u y sich durch das noch 
erübrigende darstellen lassen, so daß es nur mehr auf die Bestimmung 
dieses einen u ankommt. Von der Wahl dieser Bedingungen hängt die 
Durchführbarkeit des angedeuteten Gedankens wesentlich ab. 
Um auszudrücken, daß (4) der Gleichung (1) genügt, braucht man 
die Ableitungen von y. Nun ergibt sich 
1) Nouveanx Memoires de l'Academie de Berlin, 1775.