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V. Abschnitt. § 7. Lineare Differentialgleichungen 
»Ol) = »O2) — ~ 3, 
J*pe~ riX dx =xe~ tx dx — — e _2,r ^| 4- 
jpe~ r * x dx ^J'xefdx = <?*(# —1). 
Hiernach ist das allgemeine Integral der vorgelegten Gleichung nach 
Vorschrift von (14) y _ <ieJ « + ^ _ £. + i_. 
2. Ist die Gleichung y " -V V — 
zur Integration vorgelegt, so bilde man mit Hilfe der Wurzeln von 
r 2 -{- 1 = 0, d. i. 4; *, das Hauptintegral, welches lautet: 
~^jje { ' 1 ~^ x dx— e ^~ fd l+i ^ x dx', 
seine Ausführung, hei welcher i wie eine Konstante zu behandeln ist, 
liefert e ix e (i— i)x e —xi e {\+i)x e x 
2 i 1 — i 2 i 1 -|- i 2 
Demnach ist das allgemeine Integral (384) 
e x 
y — c t COS X + Cg sin X -j- -g- ■ 
3. Schreibt man das Integral der Differentialgleichung 
y" + 4i/ = sin x -f sin 2x 
(vgl. 385, 5 a) in der Form 
y — u cos 2x + v sin 2a:, 
so ergeben sich zur Bestimmung von u, v die Gleichungen: 
u cos 2x + v sin 2x = 0 
— 2u sin 2x -f 2v' cos 2x = sina; -j- sin 2x, 
aus welchen 2u — — sin x sin 2x — sin 2 2 a; 
2v — sin x cos 2x + sin 2a; cos 2a; 
folgt. Man führe die weitere Rechnung durch und zeige, daß das end 
gültige Integral lautet: 
. 0 H • c , sin X X cos 2x 
y — Al cos 2x + Jd sin 2x H 3 — ^ — • 
4. Auf einen materiellen Punkt, dessen Bewegung in einer Geraden 
vor sich geht, wirke eine Kraft, die ihn beständig gegen einen festen 
Punkt, den Anfangspunkt der Bewegung, hinzieht und proportional ist