484 
V. Abschnitt. § 7. Lineare Differentialgleichungen 
was sich; wenn man die Multiplikation mit cos at, sinczt ausführt und 
in den Klammern entsprechend zusammenfaßt, weiter umwandelt in 
b r h cos ßt -f- (ß + cc) sin ßt 
2 a L 
setzt man also 
b r h 
w+(ß+«y 
h cos ßt4- (ß — cc) sin ßt 
pqr?j5~~a) 8 ~ 
]« 
ValW + iß + ay 
b p p + « 
2a 
] 
2 bhß 
h s + (ß — ay 
(a* — ß 2 y 4- 4A 2 /J* 
h(a 8 — ß*) 
(a a 
&N“ (/* + «)* h° + (jJ — af J (a % —ß i y + 4h*ß 
so nimmt das Hauptintegral schließlich den Ausdruck 
A cos ßt A B sin ßt 
Hiermit erhält man dann das vollständige Integral 
x = A cos ßt 4- B sin ßt 4* e~ ht \c t cos at 4- c s sinai] 
A 
B, 
an. 
Hierin stellt der Klammerausdruck das Gesetz der Bewegung dar, 
die von der ersten Kraft allein hervorgerufen würde (freilich modifiziert 
durch die Abhängigkeit des a von /¿); der Faktor e~ ht bringt die Dämp 
fung zum Ausdruck, die von der zweiten Kraft herrührt; die beiden ersten 
Glieder stammen von den durch die dritte Kraft erzwungenen Schwin 
gungen her (die aber auch durch die beiden andern Kräfte modifiziert 
sind). Entfällt die Dämpfung (h = 0), so setzt sich die Bewegung aus 
zwei Sinusschwingungen zusammen, von welchen die eine durch die 
Daten der Aufgabe völlig bestimmt ist (sie lautet alsdann -¿¿ßT sin ßij , 
während die andere noch von den Anfangsbedingungen abhängt. 
Es ist bemerkenswert, daß unter den angegebenen Umständen eine 
schwingende Bewegung entstehen kann, deren Periode mit der Periode 
der von außen aufgezwungenen Sinusbewegung übereinstimmt; es tritt 
dies dann ein, wenn gleichzeitig c x = 0 und c 2 = 0 wird; das ist gleich 
bedeutend mit gewissen Anfangsbedingungen und zwar, wenn t — 0 die 
Anfangslage x 0 und die Anfangsgeschwindigkeit v 0 zugeordnet wird, muß 
x 0 = A und v 0 = Bß sein. 
Man entnimmt ferner dem Bau der Lösung, daß sich bei großem h f 
also bei starker Dämpfung, die Bewegung immer mehr dem Zustande 
nähert, bei dem die Periode mit der von außen kommenden übereinstimmt, 
weil dann das mit e~ ht behaftete Glied mit wachsendem t gegen das 
Gliederpaar A cosßt 4- Bs'mßt immer mehr zurücktritt.