392. Systeme von Differentialgleichungen 
485 
392. Systeme von Differentialgleichungen. Das in § 5 schon 
behandelte Thema bedarf einer Weiterführung; denn dort ist es auf Diffe 
rentialgleichungen erster Ordnung beschränkt worden; nun bleibt wenig 
stens an einigen Beispielen zu zeigen, wie man Systeme von Differential 
gleichungen höherer Ordnung zur Lösung bringen kann, Die Sache hat 
noch eine andere Bedeutung; es kann sich empfehlen, von Systemen erster 
Ordnung auf Systeme höherer Ordnung überzugehen, um so leichter zu 
einer Lösung zu gelangen. 
1. Einen Fall der ersten Art bildet das System 
dx , 
ST - - h « 
4r= **■ 
dt 
Um zu einer Gleichung zu kommen, in der nur eine der abhängigen 
Variablen auftritt, differentiiere man beide Gleichungen nach t, jeweils 
unter Berücksichtigung der andern; dadurch ergeben sich die Gleichungen 
die jede für sich integriert die Lösungen 
x = A cos Jet -f B sin kt 
y = Ä cos kt -{- B' sin jkt 
ergeben. Das aber sind nicht zugleich die Lösungen des Systems, denn 
dieses bringt x und y in eine Abhängigkeit voneinander und dies hat eine 
Abhängigkeit der Jntegrationskonstanten zur Folge; setzt man die Lö 
sungen beispielsweise in die erste Gleichung ein, so entsteht die Identität 
— Ak sinht 4- Bh cos kt = — A'h cos kt — B'k sin kt, 
die zur notwendigen Folge hat 
B' = A, A' = — B. 
Die Lösungen des Gleichungssystems lauten also 
x = A coskt 4- B sinkt 
y = — B cos kt 4- A sinkt.