490 V. Abschnitt. § 8. Integration durch Reihen 
meine Integral dar, jedoch nur dann und so weit, als die Reihe konver 
gent ist. 
Liegt nichts im Wege, die Null als Ausgangspunkt der Entwicklung 
zu wählen, so tritt die Maclaurinsche Reihe an die Stelle der Taylor- 
schen und es bedeuten nun in 
V = Vo + r « + f°"2 H— (3) 
Vo, Vo> 2/o"> • • • die zu x = 0 gehörigen Werte von y, y, y",.... 
Indessen ist der angedeutete Weg nur in besonders einfachen Fällen 
zu empfehlen. Zweckmäßiger ist es zumeist, die Reihe fiir y der Form 
nach anzunehmen, also 
y = A 0 x rn + A x x m +P' 4- A 2 x m+ ** 4 (4) 
zu setzen; unter der Voraussetzung, daß diese Reihe konvergent ist, er 
geben sich auch für y',y'\ ..., y^ ] konvergente Reihen durch gliedweise 
Differentiation von (4) (88). Alle diese Reihen in die vorgelegte Differen 
tialgleichung eingesetzt, erhält man eine Gleichung, welche indentisch, 
d. h. für alle Werte von x erfüllt sein muß. Indem man dies analytisch 
zum Ausdruck bringt, erlangt man die erforderlichen Gleichungen, um 
1. den Anfangsexponenten m, 2. das Fortschreitungsgesetz der Exponen 
ten, also die Natur der Zahlenreihe p lf . . .; 3. die Koeffizienten A 0 , 
A lf A gf .. . zu bestimmen. 
Bleiben so viele dieser Koeffizienten willkürlich, als der Ordnungs 
exponent der Gleichung Einheiten hat, so ist durch (4) das allgemeine 
Integral gefunden. 
Immer aber hängt schließlich die Zulässigkeit des Verfahrens von 
der Konvergenz der gewonnenen Reihe ab. 
Es ist nicht ausgeschlossen, daß man auf dem bezeichneten Wege 
auch solche Integrale findet, die in endlicher Form durch elementare 
Funktionen sich ausdrüeken lassen; es braucht beispielsweise nur die ge 
fundene Reihe die Entwicklung einer bekannten elementaren Funktion 
zu sein. 
394. Beispiele. 1. Wir fangen mit einer Gleichung an, bei welcher 
beide Methoden in durchsichtiger Weise zum Ziele führen und die über 
dies direkte Integration gestattet, nämlich mit 
y" — ay- («)