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V. Abschnitt. § 8. Integration durch Reihen 
y" - 1 • 2Ä 3 4- 2 • 3A s x + 3 • 4A,x 2 + • • • 
ableitet, so wäre aus der Substitution dieser Reibe in (a) der Ansatz 
1 • 2A 2 -f 2 • 3A 3 x + 3 • 4A x x 2 + ■ • • 
= a (J, 0 4- A x x 4- A.x 2 -f A s x 3 4- • • •) 
hervorgegangen; die Vergleichung korrespondierender Koeffizienten führt 
zu: 4 _ aA o j _ aÄ i 
2 12’ 8 1 • 2 • 3 * 
d = 4L*4l_ j = 
“ 4 1 ■ 2 • 3 • 4 ’ 5 1 ■ 2 • 3 • 4 • 6 J 
und hiermit verwandelt sich (e) in 
V 
= A o 11 4- 
4- A x {a + 
acc 2 , a i x* ( ) 
1*2 ‘ 12 3.4 ! j 
ax 3 a 2 ic 6 
1 ‘2 • 3 ~ 1 • 2 • 3 • + • 5 ~r ' ' ' 
dies stimmt aber mit (y) überein. 
2. Um die Gleichung y" 4* aX n y = 0 («) 
zu integrieren 1 ), nehme man an, das erste Glied der y darstellenden Reihe 
sei A 0 x m ] sein zweiter Differentialquotient ist m (m — 1) A 0 x m ~ 2 ; mithin 
führt die Einsetzung dieses Gliedes in (a) zu dem Gliederpaare 
• j 
1) Auf diese Form läßt sich die spezielle Riccatische Gleichung (vgl. 858,5). 
Ji + 
bringen, und zwar mittels der Einführung einer neuen abhängigen Variablen » 
durch die Substitution: 1 dz 
y az dx ’ 
aus der weiter 
dy 1 /d£\ 2 1 
dx az* \dx) ' azdx 3 
folgt; die transformierte Gleichung lautet nämlich 
d s z 
—abx m z. 
dx 2 
Hat man ihr allgemeines Integral z = C x z x 4- C 2 z 2 gefunden (s. oben), so ergibt 
sich daraus das gesuchte Integral 
i c dz ° 
1 dZi , dZz\ dx dx 
V ~a{C 1 z 1 4- C t z t ) \ 1 dx "■ 1 da/ a {z 1 4- Cz s )> 
wobei G für 
<4 
<7, 
geschrieben ist.