396. Aufgabe der Variationsrechnung 
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so taftrt sind I 
0Q '«ь beginnt, I 
'4nc¿ gei I 
u Qkte schneiden. 
^Ankgaricli- 
зяи^гшишз par. I 
genommen, so 
«Ь ш y-Achse; 
nicht ändert, 
sicher Umstand 
bsdruck kommt. 
ergibt sich nur 
wr j Achse rer-1 
0: einmal ist es I 
J iement der eben I 
9 
Formel 
io и bestimmen, 
ion der Abszisse а 
a beschreibt. Die 
Unter allen Kurven der Ebene, welche zwei gegebene Punkte M 0 (x 0 /y 0 ), 
M x (¿fj/t/i) miteinander verbinden, diejenige zu bestimmen, die bei der 
Drehung um die i-Achse die kleinste Fläche beschreibt. 
Und in analytischer Formulierung: 
Es ist y als Funktion von x so zu bestimmen, daß es an den Stellen 
x 0 , x x die Werte y 0 , y x annimmt und dem Integral 
JyVl+ y*dx 
x 0 
den kleinsten Wert verleiht. 
Abstrahiert man von der speziellen Aufgabe, so handelt es sich um 
das folgende Problem: 
Es soll die unbekannte Funktion y von x so bestimmt werden, daß sie 
an den Stellen x 0 , x x vorgeschriebene Werte y 0 , y x annimmt und das Integral 
J=ff{x,y,f)dx, 
*0 
worin f eine gegebene Funktion bedeutet, zu einem Minimum oder Maxi 
mum macht. 
Das Problem erfährt eine naheliegende Verallgemeinerung, wenn man 
annimmt, die Funktion unter dem Integralzeichen enthalte auch noch den 
zweiten und eventuell noch höhere Differentialquotienten der unbekannten 
Funktion; auf der nächst höheren Stufe handelt es sich also um solche 
Funktionen y, welche gewisse Grenzbedingungen erfüllen und dem Integral 
y, y\ y")dx 
CC Q 
einen extremen Wert verleihen. 
Fj ..n ä % у \ 
dx’• dx*/ 
Die Formel J*YI -f y % + z 2 dx 
Vo 
dient zur unmittelbaren Lösung der Aufgabe, den Bogen einer Kurve im 
Raume zu rektifizieren, wenn y und z als Funktionen von x gegeben sind. 
Denkt man sich aber y, z unbestimmt, so kann man fragen, hei 
welcher Wahl von y, z die Bogenlänge am kleinsten wird unter Einhal 
tung der Grenzbedingungen, daß y, z bei x 0 , x x bestimmte Werte y 0 , y X ‘ 
z 0 , z x anzunehmen haben.