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II. Abschnitt. § 1. Integration rationaler Funktionen 
den Faktor x— a, eine m-fache solche Wurzel den Faktor (x — a) m liefert, 
während aus einer komplexen Wurzel а + ßi und der sie begleitenden 
konjugierten Wurzel a — ßi ein quadratischer Faktor x 2 -\- px + q und 
aus m-fachen Wurzeln dieser Art ein Faktor {x 2 px + q) m entspringt; 
dabei ist p = — 2a und q = a 2 + ß 2 , so daß ~ — q < 0 ist. 
Ist nun der Nenner f(x) der echt gebrochenen Funktion in 
seine Faktoren zerlegt oder läßt sich diese Zerlegung durch Auflösung 
der Gleichung f(x) = 0 bewerkstelligen — dies die Voraussetzung, unter 
welcher allein die praktische Ausführung der im Nachfolgenden erör- 
terten Operationen möglich ist —, so kann in einfachere Brüche, 
welche die Faktoren von fix) zu Nennern haben, aufgelöst werden, und das 
Integral dx erscheint auf die Integration dieser einfachen Brüche, 
der Partialbrüche, zurückgeführt. 
Die Grundlage für die Zerlegung in Partialbrüche bildet der fol 
gende Satz: 
Jeder irreduktible echte Bruch > dessen Nenner aus teilerfrem 
den Faktoren besteht, läßt sich, und шаг nur auf eine Art, in irreduktible 
echte Brüche zerlegen, die zu Nennern diese Faktoren haben, so daß 
Fix) P(x) Q(x) 
= E!É. 4- 
ф (x) (X) ф \x) 1p (X) 
wird. 
(1) 
Es sei nämlich cp(x) = a 0 x r -f a l x r ~ 1 + • + a r 
(x) = b 0 x s -f- b l x s ~ x +••• + &/, 
dann ist r -f- s — 1 der höchstmögliche Grad der Funktion F(x), deren 
allgemeine Form 
F(x) = c 0 x r+s ~ 1 + c 1 x r+s ~ 2 + • • • + C r +s-l 
sein wird; da cp{x), tix) keine gemeinsame Wurzel haben, so ist ihre 
Resultante 
A = 
a 0 a t 
• • • a r 
... o 
0 a 0 
a r ■ 0 
. о 
■ % • ■ • 
■■■■a r 
b 0 b t ■ 
• • • \ 
• • • 0 
о 
CH 
о 
b.- 0 
. О 
H= o. 
(2)