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II. Abschnitt. § 1. Integration rationaler Funktionen 
Fix) <x x x r Uj-a 2 + h ' 
(p (x) if> («) ~~ 9>(«) 
4_ ßi xS *+ fe ^ 2 + • • • +& 
Daß die beiden Brüche rechts irreduktibel sind, erkennt man aus 
(3); hätten nämlich a i x r ~ 1 + • • • + a r und <p(x), also auch A x x r ~ L + • • 
• -f A r und cp (x), einen gemeinsamen Teiler, so müßte dieser vermöge (3) 
auch Teiler von F(x) sein — gegen die vorausgesetzte Irreduktibilität 
F(x) 
VOn . \,"/ c • 
cp (x) np (x) 
Hiermit ist der obige Satz im ganzen Umfange bewiesen. 
Die wirkliche Zerlegung kann auf dem eben bezeichneten Wege mit 
Zuhilfenahme des Satzes der unbestimmten Koeffizienten (89) erfolgen. 
Nachdem man nämlich den Ansatz (4) gebildet, befreie man ihn von den 
Nennern und vergleiche in 
F(x) = (a t x r ~ 1 + cc 2 x r ~ 2 -j- ••••■+ «0^0*0 
+ (ß i a?- 1 + ß 2 % s - 2 -\ f ß s )<p(x) 
die Koeffizienten gleicher Potenzen links und rechts; dadurch ergibt sich 
die gerade notwendige Anzahl von r -f- s linearen Gleichungen zur Be 
stimmung der Koeffizienten 
«i • • • A- • • ß,- 
Aus dem obigen Satze läßt sich der folgende ab leiten: Der irreduk- 
F(x) 
tible echte Bruch —rr, w welchem keine zwei Faktoren des 
Nenners einen gemeinsamen Teiler haben, läßt sich nur auf eine Art in 
eine Summe irreduktibler echter Brüche mit den Nennern cp x (x), cp 2 (x), .. 
. , cp a (x) auf lösen. 
Es ist nämlich auf Grund von (1) 
F(x) = P 1 (x) QAx) 
<Pt ( x ) f Jp 2 («)••• <P a («) <Pi {X) 1 cp 2 (X) . . . tp a ix) 
QA X ) _ EM _L &(*) 
qp s (X) ... cp a (X) cp 2 (x) ^ ep s (X) . . . cp a (x) 
Qg—i ( x ) __ MM I ■£ > g(. x ) 
9> ff -i(*) cp a (x) cpa-xix) ^ <p a (x)