239. Partialbrüche, von einfachen reellen Wurzeln stammend 
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und daraus ergibt sieb durch Addition: 
F(x) 
Pi(x) , P,(a?) , 
cpi(x) <Pt( x ) 1 
+ 
P«(x) 
(5) 
cp 1 (x)tp i (x)...cp a (x) cp^x) 1 qo t (x) 1 1 cp a (x) 
239. Partialbrüche, von einfachen reellen Wurzeln stam 
JfT f Qß\ 
mend. Eine einfache reelle Wurzel a des Nenners von ~~ gibt zu fol 
gender Zerlegung Anlaß: Es ist 
(6) f(x) = (cc — a) <p (x) und 
F(x) 
№ 
x — a g> (x) 5 
(?) 
dabei bedeutet A eine ganze Funktion 0-ten Grades, also eine Konstante, 
und P ist von niedrigerem Grade als <p(x). Um A zu finden, setze man 
in der von Brüchen befreiten Gleichung 
F(x) = Acp(x) + P(# — a) 
x — a und erhält, da sowohl F(a) ■-4= 0 wie q>{a) 4=0 ist, für A den völlig 
bestimmten Wert . F(a) . . 
A ~~v(ay 
Zu einer anderen Darstellung des Zählers A führt die Gleichung 
(6); differentiiert man sie, so kommt 
f\x) = <p(x) + (x — a)cp'(x) 
und daraus folgt f'(a) = <p(a); daher ist nach (8) auch 
A = 
F(a) 
f'(a) 
Besitzt der Nenner nur einfache reelle Wurzeln a u 
(9) 
. . ., a n und 
macht man die Voraussetzung, der Koeffizient der höchsten Potenz sei 
die Einheit 1 ), dann gilt 
f{x) = {x — af)(x — a 2 ) ■ ■ ■ (x — a n ) und 
F(x) A t , A 9 A a 
f(x) 
x — a, x 
+ ••• + 
Zur Bestimmung der Zähler führen verschiedene Wege; entweder 
setzt man in der von den Brüchen befreiten Gleichung der Reihe nach 
x — a lt a 2 , . . ., a n und erhält in derselben Reihenfolge A 1} A 2 , .. ., A n , 
oder man vergleicht in derselben Gleichung die Koeffizienten gleicher 
Potenzen von x zu beiden Seiten und kommt so zu n linearen Gleichun 
1) Im anderen Falle denke man sich diesen Koeffizienten vor das Integral 
zeichen gehoben.