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Gelingt es auf irgendeinem Wege, aus (1) eine Gleichung abzuleiten, 
welche r, s, t nicht enthält, also eine Gleichung 
f(x,y,z,p } q)*~ 0, (2) 
so ist die weitere Lösung auf ein bereits behandeltes Problem, auf die 
Integration einer Differentialgleichung erster Ordnung, zurückgeführt. 
Die Gleichung (2) wird ein erstes, ein intermediäres oder ein Zwischen 
integral der Gleichung (1) genannt. 
In den beiden folgenden Artikeln wird eine Auswahl spezieller Glei 
chungen vorgeführt werden, bei denen durch einfache Überlegungen ein 
Weg zur Integration gefunden werden kann. Zu ihnen gehören auch die 
in bezug auf die unbekannte Funktion z und ihre Ableitungen p, q, r, s, t 
linearen Gleichungen und unter diesen insbesondere die homogenen mit 
konstanten Koeffizienten. Im Anschlüsse daran werden zwei wichtige um 
fassende Formen, die Ampkresche und die Mongesche Gleichung be 
handelt werden, unter welche sich auch manche der vorhin erwähnten 
speziellen Gleichungen unterordnen lassen. 
417. Einige besondere Gleichungsformen. 1. Die Differential 
gleichung r —= f(x) (1) 
ist wie eine gewöhnliche zu behandeln, jedoch mit dem Bemerken, daß 
an die Stelle der Integrations&owstawfew eine willkürliche Funktion von y, 
das bei dem ganzen Prozesse als konstant betrachtet wird, zu setzen ist, 
um das Integral in seiner größten Allgemeinheit zu erhalten. Hiernach 
ergibt sich nach einmaliger Integration: 
P “ ff{x)dx + <p(y) 
— dies das Zwischenintegral — und nach abermaliger Integration: 
*-flxff(x)dx + x<p(y) + (2) 
Die allgemeinste Lösung, in expliziter Form geschrieben, enthält 
also außer einer bestimmten Funktion von x zwei willkürliche Funk 
tionen von y. 
In ähnlicher Weise wäre t — f(y) zu lösen. 
2. Ein analoger Vorgang führt zur Lösung von 
s = f{x, y), (3) 
nur mit dem Unterschiede, daß nach zwei verschiedenen Variablen in 
tegriert wird; man erhält bei der Integrationgfolge y, x zuerst: