418. Bezüglich der Funktion lineare Gleichungen 
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ist; nach Entwicklung der Determinante gibt dies 
{m — m) \mm'r — (m -f- in) s 4 t\ = 0 
und sofern m' m, führt dies zu 
mm'r — (m 4 w') s 4 t — 0, 
was sich zufolge der Wurzeleigenschaften tatsächlich umsetzt in 
r -f 2as 4 bt = 0. 
2. Die Gleichung r - aH = 0 (8) 
ist in der vorigen als besonderer Fall enthalten, hat die charakteristische 
Gleichung a 2 — a 2 [3 2 = 0 
mit den Lösungen ß — 4 ~, also das allgemeine Integral z = cp (x 4 ^ 
4 xp (x — --j oder, was auf dasselbe hinauskommt, 
z = (p(g ax) -f ib (y — ax). (9) 
Sind ausreichende Bedingungen hierfür vorhanden, so lassen sich 
auch die willkürlichen Funktionen bestimmen. Würde z. B. gefordert, 
daßfür * = o, *-F(sO, %-fW, 
werden solle, wobei F, f gegebene Funktionen bedeuten, so hätte man in 
Ausführung dieser Bedingungen: 
cp (y) 4 '4> (y) = F (y) 
acp\y) - axfj'(y) = f(y), 
folglich weiter: cp (y) 4 xp (y) = F(y) 
<P 0) — t (y) = F i (y), 
wenn ljf(y)äy = (i/) gesetzt wird, und hieraus: 
der den festgesetzten Bedingungen entsprechende besondere Fall des all 
gemeinen Integrals ist demnach: 
z = ~{F(y + ax) + F(y - ax)} 4 y { F i 0 + »«) — F x (y - ax)}.