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II. Abschnitt. § 1. Integration rationaler Funktionen 
Nun kann P(x) auch nach Potenzen des Binoms x — a entwickelt 
werden; entweder mit Hilfe der Formel 
P(cc) = P(a + {x — a)) 
P\a), 
- p(«) + ^ (*-») + v? ( * 
«) 2 + 
+ 
p(»‘ - !) ( a ) 
(# — «)’ 
1 • 2 • • (m — 1) 
oder aber dadurch, daß man x = z + a setzt und P(e + a) mittels der 
Binomialformel ausführt; es ergibt sich so 
P(x) = P(e + a) = A 2 z m ~ 2 H + A m 
— A (x — a) m ~ 1 -j- A 2 (x — d)‘"~ 2 -{-••• -f A m . 
Auf Grund der letzteren Darstellung hat man dann 
F(oc) A t I _j_ 
f(xj x — a ' (x — a) 2 1 
+ r. 
(x 
m I Q ( x ) 
a) m "*■ "cp (x) 
(ii) 
Eine m- fache reelle Wurzel des Nenners gibt hiernach im allge 
meinen Anlaß zu m Partialbrüchen, deren einer die früher schon behan- 
A 
delte Form ——hat und ein logarithmisches Integral liefert, während 
A, 
[X ■ 
dx 
(x — a) r 
x — a 
die anderen von der Gestalt 
A. 
sind und das algebraische Integral 
A„ 
(r — l)(x — a) r 
ergeben. (12) 
P(x) 
Weil ^ irreduktibel ist, so besitzt P(x) den Faktor (x — d) 
nicht, und daher ist notwendig A m 4= 0; dagegen können mehrere von 
den übrigen Zählern oder auch alle Null sein. Yon den Partialbrüchen 
ist also jener mit dem höchsten Nenner, ^, immer vorhanden. 
242. Beispiele. 1. Für das Integral J gilt der Zer 
legungsansatz — 1 A, , A,■ , A K 
ÌC 2 — 1 
(x -j- 2) a 
+ 
+ 
x -f- 2 ' (ic-|-2) s 1 (ic -D 2)® 7 
nach Beseitigung der Nenner hat man zur Bestimmung der Zähler die 
Gleichung: x 2 - l = A t (x + 2) 2 + A 2 (x -f 2) + A 3 . 
Anderseits ist 
x 2 — 1 ~ (xA 2 -2) 2 -1 = (x + 2) 2 — 4(x + 2) + 3, 
daher 
A 
A, 
4,