420. Theorie der Charakteristiken der Differentialgleichung 
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420. Theorie der Charakteristiken der Ampereschen Dif 
ferentialgleichung. Ist z =* <&(%, y) eine Integralfläche der Gleichung 
(2), d. h. erfüllen z und die daraus abgeleiteten Werte von p, q, r, s, t 
die Gleichung (2) identisch, so bestimmen x,y,z die Lage eines ihrer 
Punkte, p, q die Stellung der Tangentialebene, r, s, t im Verein mit p, g 
die Krümmungsverhältnisse daselbst. 
Solcher durch acht Größen gekennzeichneter Elemente definiert die 
Gleichung (2) wie überhaupt jede Differentialgleichung zweiter Ordnung 
oo 7 , weil sieben von den Größen frei gewählt werden können, während 
sich die achte aus (2) bestimmt. 
Wir gehen nun von der Aufgabe aus, eine Integralfläche z =* <&(x,y) 
zu finden, die durch eine gegebene Kurve C geht und in den Punkten 
derselben vorgeschriebene Tangentialebenen besitzt. Da diese Tangen 
tialebenen in ihrer Gesamtheit durch eine Developpable D eingehüllt 
werden, so kann man die Aufgabe auch so fassen, daß es sich um eine 
Integralfläche handelt, welche die Developpable D längs der ihr aufge 
schriebenen Kurve C berührt. Weil beide Flächen längs C einen infini 
tesimalen Flächenstreifen gemein haben, so kann man auch sagen, die 
gesuchte Integralfläche habe diesen Flächenstreifen zu enthalten. 
Bei der Bewegung auf C sind x, y, z,p, q als Funktionen eines Para 
meters aufzufassen; ihre Differentiale dx, dy } dz, dp, dq aber haben den 
folgenden Bedingungen zu entsprechen: 
dz=pdx-\-qdy (4) 
dp-~rdx + sdy (5) 
dq =* sdx -f- tdy, (6) 
wobei r, s, t aus der Gleichung der Integralfläche zu entnehmen sind; 
aber auch die Gleichung (2) muß durch x, y, z, p, q, r, s, t befriedigt sein. 
Man hat also zur Bestimmung r, s, t für einen Punkt von C drei 
Gleichungen zur Verfügung: (2), (5) und (6); die erste ist von zweitem 
Grade, die beiden anderen sind linear; leitet man aber aus (5) und (6) 
tdp — sdq =- (rt — s*)dx 
ab, so erkennt man, daß sich rt — s 2 in (2) durch einen in s, ¿^linearen 
Ausdruck ersetzen läßt, so daß dann drei lineare Gleichungen vorliegen, 
die nur eine Lösung für r, s, t ergeben. Es gehört hiernach im allgemei 
nen zu jedem Punkte von C nur ein Wertsystem r,s,t.