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II. Abschnitt. § 1. Integration rationaler Funktionen 
Bx + C 
£C 2 -f iC-f-1 
X 
1 2x 1 
3 iC 2 -j- X + 1 
1 2x 
6 x*-\-x-\-l 
6 x 3 -\-x-j-l 
1 1 
_ 
2 £C a -f- ¿C -}- 1 
J 
Demnach ist 
*{x*-\-l)dx 2 7 , 
2. Um das Integral 
(*+t) + (Vt' 
1) T ~q l(pc 2j r X + 1) 
f (ic 2 -j-1) dx 
J* 
1 I 2 x -j-1 . 
-j= arctg —— + <7. 
|/3 ö ]/3 
ic 4 + * 2 + 1 
zu entwickeln, hat man vor allem den Nenner in seine einfachsten reellen 
Faktoren zu zerlegen; da reelle Wurzeln nicht vorhanden sind, so werden 
die Faktoren quadratisch sein, und weil die dritte und erste Potenz fehlen, 
die zweite aber einen positiven Koeffizienten hat, wird der Ansatz die 
Form haben: # 4 -f x 2 + 1 = (x 2 -\- ccx-j- 1) (x 2 — ax 4- 1); 
die Vergleichung der zweiten Potenzen beiderseits zeigt, daß — a 2 -f- 2= 1, 
also a = 1 ist. 
Mithin ergibt sich für die gebrochene Funktion die Zerlegung 
Ax + B Cx + JD 
+ 
1 ’ 
x i ~\-x i -{-l ¿c 2 -f- rc —j— 1 
nach Wegschaffung der Nenner hat man 
x 2 -}- 1 = (Ax + B) (x 2 — x + 1) -f- (Cx 4- D) (x 2 -\-x 4-1) 
und hieraus mittels des Satzes der unbestimmten Koeffizienten: 
0 = 
A + C 
1 = 
-A + 0-+B + D 
0 = 
A + G— B 4- B 
1 = 
BAD, 
woraus sich berechnet A = 0=0, B — D = — • 
Nun kann die Integration vollzogen werden und gibt: 
I 
{x^-\-1 )dx 
£C 4 4- iC 2 4- 1 
Tf 
dx 
(• + t) + 
3 + 2 
if 
dx 
M)' 
1 , 2x-\~l , 1 , 2x — 1 n 
Y 3 8 |/3 y-3 h |/3 
= — arctg — 
Vs ° 1 . 
4ìc 
ys 
4ar 
4-0 
1 , £Cl/3 
arctg - ■ - ; 
° 1 — X■ 
V» 
4- o. 
3