245. Partialbrüche, von mehrfachen komplexen Wurzeln stammend 47 
3. Man gebe die Integrale 
/ dx f xdx [ x*dx_ I x s dx 
sc 4 -f-l’ J J x*-\-l i J # 4 -f 1 an ' 
245. Partialbrüche, von mebrfacben komplexen Wurzeln 
stammend. Ein Paar m-facher, konjugiert komplexer Wurzeln des Nen- 
bat einen Partialbrucb von der allgemeinen Form 
ners von 
P 
(x^^j-px -f- q) m ' 
zur Folge, wobei P eine ganze Funktion höchstens vom Grade 2m — 1 
bedeutet. 
Die Integration eines solchen Partialbruches vollzieht sich am ein 
fachsten mit Hilfe des folgenden Satzes. 
Es lassen sich, und zwar nur auf eine Art, zwei ganze Funktionen 
Q> die erste vom Grade 2 m —- 3, die zweite vom Grade 1, bestimmen 
derart, daß 
(16) 
Führt man nämlich rechts die Differentiation aus, so wird dieser 
Behauptung zufolge 
(£C ä -j-px -f- (m— 1) [x 2 -{-P x + q) m 2 (2aJ~l-p)Q 
(£C 2 —(- -f- g) 2 " 1-2 
P 
(ic 2 -f px -j- q) m 
schafft man die Nenner fort, so ergibt sich weiter die Gleichung: 
P = (x^-f px-f q) Q' — (m — 1) (2x +p) Q -f (x 2 +px -fg) m_1 P. (17) 
Die nach Potenzen von x geordnete rechte Seite enthält die 2m — 2 
Koeffizienten von Q und die 2 Koeffizienten von P, im ganzen also 2m 
Unbekannte. Wendet man aber auf (17) den Satz der unbestimmten Koef 
fizienten an, so ergeben sich, da (im allgemeinen) beide Seiten vom Grade 
2m —1 sind, gerade 2m Gleichungen zur Bestimmung der 2m Unbe 
kannten, welche Gleichungen, da sie linear sind bezüglich der Unbekann 
ten, zu deren eindeutiger Bestimmung führen. 
Ist die Zerlegung (16) vollzogen, so liefert die Integration 
Pdx 
J 
Bdx 
Q 
(18) 
x*-\~p x + q. ’ 
(£C 2 -f- q) rn ~ 
(¿c 2 px -j- q) m 
also einen algebraischen Teil und ein Integral, das nach den Formeln