248. Monomische, lineare und linear-gebrochene Irrationalität 
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endlichen Anzahl von Verbindungen derselben darzustellen. Eine solche 
Darstellung gelingt nämlich nur dann, wenn das Differential f(x,y)dx 
durch Transformation der Variablen sich auf ein rationales Differential 
zurückführen läßt. Man kann hierfür eine allgemeine Bedingung angeben: 
der bezeichnete Fall tritt nämlich immer dann ein, wenn sich die Glei 
chung (2) durch eine rationale Substitution 
x = <p(u), y = i>(u) 
identisch befriedigen läßt. Dann ist nämlich auch dx = (p f (ii) du rational 
in u ausgedrückt und der ganze Integrand in (1) rational. Gibt es eine 
solche Substitution nicht, so ist eine Darstellung von (1) in elementarer 
Form, d. i. durch eine endliche Verbindung der elementaren Funktionen, 
im allgemeinen nicht möglich, das Integral stellt dann vielmehr eine 
höhere transzendente Funktion dar. 
Die in den Anwendungen der Analysis auf Geometrie und Mechanik 
auftretenden Integrale irrationaler Funktionen sind häufig solcher Art, 
und es sollen nun die wichtigsten Formen derselben betrachtet werden. 
248. Monomische, lineare und linear-gebrochene Irratio 
nalität. Ist die Gleichung, welche y als Funktion von x bestimmt, in 
bezug auf x vom ersten Grade, hat sie also die Form 
wobei cp(y) eine ganze Funktion mindestens des zweiten Grades bedeutet, 
so wird das Ziel dadurch erreicht, daß man in dem Integral (1) y als 
Integrationsvariable einführt; (3) gibt nämlich 
daher auch dx als rationale Funktion von y, und somit verwandelt sich 
durch die Substitution (4) f(x,y)dx in ein rationales Differential in y. 
Die einfachsten Fälle dieser Art sind die folgenden: 
1. Die Gleichung (3) ergebe 
x = y n , 
wo n eine positive ganze Zahl ist; dann folgt wegen 
dx = ny n ~ 1 dy