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II. Abschnitt. § 2. Integration irrationaler Funktionen 
Behufs Ausrechnung des zweiten Integrals (11) liegt es nahe, die 
echtgebrochene Funktion in ihre Partialbrüche und dadurch das 
Integral in einfachere Integrale aufzulösen. Wir beschränken uns hier 
auf die Betrachtung einer einfachen reellen und einer m-fachen reellen 
Wurzel a des Nenners (x) und verlegen den schwierigeren Fall zweier 
konjugiert komplexen Wurzeln in das Beispiel 253, 6., wo wir ihn mit 
allen Einzelheiten behandeln. 
Ist a eine einfache Wurzel, so liefert es einen Partialbruch von 
der Gestalt x ^_ u mit konstantem Zähler (289) und zu dem Integrale 
~~ den Bestandteil A f • (16) 
J <p(®) V J (ß — *)y' v ’ 
ist hingegen a eine m-fache Wurzel von cp(x), so gibt es einen Partial- 
bruch dessen Zähler eine ganze Funktion m — 1-ten Grades ist, 
und dieser liefert zu dem Integral den Bestandteil 
Li (x) 
(X — a) m y 
dx\ 
(17) 
dieses Integral aber läßt sich auf das vorige, (16), zurückführen mit Hilfe 
des folgenden Satzes: 
Man kann, und nur auf eine Weise, eine ganze Funktion B 1 (x) vom 
Grade m — 2 und eine Konstante A bestimmen derart, daß für alle Werte 
von x die Gleichung besteht: 
S.(x) __ j, i R l {x)y) A 
{x — A m y x 1 (* — «)“~ 1 J A — «)y' 
(18) 
Wird nämlich die Differentiation 
diese Gleichung in 
R(x) 
{x~afy 
-Bi 'A)y + R y (x) 
ax -j- 6 
V 
(,x — Ci) m 1 
ausgeführt, so verwandelt sich 
_ ( m ~ 0% , A 
(x — a) m t ^ {x~a)y 
und lautet nach Wegschaffung der Nenner: 
B(x) = [12/(x) (ax*+ 2bx + c) + R t (x) (ax -h &)] (a? — a) ) , 
— (m — 1)R x (x) (ax*-\-2bx + c) -f A(x — a) m_1 ; j 
nach Ausführung aller rechts angezeigten Operationen heben sich dort 
die Glieder wi-ten Grades auf; ist nämlich 
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