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II. Abschnitt. § 2. Integration irrationaler Funktionen 
dz 
ax f b = z, woraus dx = —; ferner ac — b 2 = d: 
' n. ‘ t 
Hiermit wird 
/, 
Z«J\ 
< x < 
■V\9 
und mit Rücksicht auf (25) 
Hiernach ist 
dz 
I/F* -fri 
dt 
T 
fy§= -/t - U + 0 ^- *(* +^ 8 -M) + 0, 
252. Berechnung des Grundintegrals. Die noch zu lösende 
Aufgabe ist die Entwicklung des Grundintegrals 
G*-f. = • : (12) 
,7 y J Vax 2 -\-Ux-\- c’ V ' 
diese führt zu verschiedenen Funktionen, je nach dem Vorzeichen von a 
1. Ist a > 0, so transformiere man das Trinom zunächst in 
ax 2 f 2&# f c = — \{ax + b) 2 f ac — & 2 ] und setze 
. . , (24) 
]/ax“ f 2bic f c -f ^ y 
wenn d > 0, besteht Realität für alle Werte von 0, also auch für alle 
Werte von wenn aber d < 0, so hat das Integral nur so lange reelle 
Bedeutung, als z 2 > | d!, also 
ist. 
a a 
Das vereinfachte Integral kann mittels der Substitution 
Vz 2 f d = t-z (25) 
gelöst werden 1 ); quadriert man diese Gleichung, so kommt man nach 
Aufhebung von z 2 zu ^ = ~ 2zt f t 2 
woraus durch Differentiation 
0 = (t — z)dt — tdz 
folgt. 
(26) 
1) Mit Umgebung dieser Umformung kann auf das ursprüngliche Integral die 
Substitution 
yax 2 f 2b x f c = z — x \/a 
angewandt werden; sie führt zum Ziele, weil sowohl dx wie y sich rational in t 
ausdrücken. 
(23) 
es darf angenommen werden, das d 4= 0, weil bei d = 0 die Irrationalität 
von Anfang an aufhörte zu bestehen. 
dx 1 C dz