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II. Abschnitt. § 2. Integration irrationaler Funktionen 
f 
dy 
(r — i) l/i — r 
r ^ r 
J (y-i)lA'-y J (: 
dy 
Demnach ist schließlich 
JY 
(2/ — 1) — 2/ 2 J (2/+ 1) j/l ~ 2/ s 
i/LEj' , i/ 1 — y _ 2 V 
Vr-y+ ViT~y-~vf^P' 
— C? £C 
= 2 arcsin ]/l — x — 2 ~j/*- —^ -f- C. 
255. Integration binomischer Differentiale. Eine häufig ver 
kommende Gattung von Integralen bilden die Integrale der binomischen 
Differentialausdrücke. Man versteht hierunter Integrale von der typischen 
Form fx m {ax n +bydx, (34) 
worin m, n, p rationale Zahlen bedeuten. 
Einen neuen Fall bietet dies nur dann dar, wenn p keine ganze Zahl 
ist. Denn wären neben p auch m, n ganze Zahlen, so hätte man es mit 
einer rationalen Funktion zu tun, und wären m, n gebrochene Zahlen, 
so würde es sich um die in 248 behandelte monomische Irrationalität 
handeln. 
Dagegen können m, n als ganze Zahlen vorausgesetzt werden. Wä-_ 
ren sie es nicht, wären sie vielmehr Brüche mit dem kleinsten gemein 
samen Nenner q, so daß m n' 
7 m = - , n = —, 
q ’ q ’ 
so führte die Substitution x = P 
das Differential x m (ax n -\- b) p dx über in 
qt m ’ +q ~ 1 (at n ' b) p dt. 
und dies ist wieder ein binomisches Differential, in welchem die Expo 
nenten m + q — 1, n gauze Zahlen sind. 
Wir setzen daher im Folgenden m, n als ganze Zahlen,# dagegen 
als einen Bruch, p 
p = -voraus. 
Es gibt zwei Fälle, in welchen das binomische Differential sich in 
ein rationales Differential umwandeln und daher mittels der elementaren 
Funktionen in endlicher Form integrieren läßt. 1 ) 
1) Nach einem von Tchebycheff in Liouvilles Journal (1853, p. 108) ge 
gebenen Beweise sind es auch die einzigen Fälle, wo dies möglich ist.