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II. Abschnitt. § 2. Integration irrationaler Funktionen 
In allen Fällen, wo die Formeln unwirksam werden, ist eine der 
Integrabilitätsbedingungen erfüllt und kann das Integral auf das einer 
rationalen Funktion zurückgefübrt werden. So ist beispielsweise bei (III) 
und (V), wenn m -f- np 4 1 = 0, + p eine ganze Zahl (0) und 
daher die Bedingung (B) erfüllt. 
257. Beispiele. 1. Auf das Integral 
y dx 
(l + xrf 
wird jene Formel anzuwenden sein, welche den Exponenten p = 
erhöht, jenen m — 0 aber ungeändert läßt, also die Formel (IV); da 
n(p 4 1)5 = 2 • ^—- 4 l] • 1 = — 1 und m n(p 1) + 1 = 0 -|- 2 
• (—~ 4 1^ 4 1 = 0 ist, so hat man ohne weitere Integration 
h 
dx 
-]/(!-{-xY yi 4 
C. 
2. Das Integral 
4' 
* x 2/l dx 
]/4— 
erfüllt bei ganzzahligem p die Integrabilitätsbedingung (B). Um es zu 
reduzieren, wird man unter den Formeln diejenige aufsuchen, welche 
m = 2u herabmindert und jp =—^ ungeändert läßt; es ist die Formel 
(Y), und ihre wiederholte Anwendung gibt nach und nach: 
h 
2 g 
U 
x 2u - 3y 1 _ x 2 
2g-2 
2 g 
2 g — 1 
+ 2 u U 2,u- 2 
2 g — 3 
d~ 2 g — 2 2 ¡x — 4 
Xl/l — X :1 , 1 
Mg = h y w 0 : 
multipliziert man diese Gleichungen der Reihe nach mit 
2g. — 1 (2g— l)(2g—3) (2g —l)(2g —3).-. 3 
’ 2g ? 2g(2g — 2) ’ ' ‘ ~ ~2g(2g—2) • •-4 
und bildet die Summe, so kommt man mit Rücksicht darauf, daß 
u 0 = arcsin a? ist, zu der Schlußformel: