Perspektivität ebener Figuren. Harmonische Gebilde. 
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hat den Wert 0, oder oo, oder — 1, oder + 1, wenn die Gerade c 
bezw. mit a, mit h, mit der Halbierungslinie rn des Winkels ab oder 
mit der Halbierungslinie n des Nebenwinkels zusammenfällt (Fig. 150). 
Analoges gilt von der Bestimmung der Ebenen eines Büschels 
durch ein Sinusverhältnis. 
319. Wir schreiten jetzt zur Ableitung der Relation, die zwischen 
zwei Perspektiven Punkt 
reihen, AB CH auf g und 
A 1 B 1 C 1 H 1 SLuig v bestehen 
muß. Es sei 0 ihr Per- 
spektivitätscentrum (Fig. 
151); man bestimme in 
beiden Geraden die Gegen 
punkte, also G v auf g und 
Goo auf g 1 , indem man 
aus 0 die Parallelen zu 
g x und g zieht. Dann 
entstehen zwei Reihen ähnlicher Dreiecke: A G^A^O ^ a G v OA, 
A $«B x O~ G v OB, u. s. w. Folglich hat man: 
Gao-ä, GvO O a >B 1 GvO 
0^0 OvA’ G^O GvB’ 
oder auch: 
$oo $1 : $oo A : G» $x • $oo A 
Setzt man nun in der Gleichung: 
i l _ l l 
GvA GvB Gv G Gv D 
AG G. x C i ■ G., : A X 
A, Ci G cc C 1 -G m B 1 
für die rechts vorkommenden Strecken die. ihnen proportionalen 
Größen aus der vorigen Gleichung ein, wobei der Bruch ungeändert 
bleibt, so ergiebt sich nach einfacher Reduktion der Wert; 
GvB GvA-GvG GvB AG 
QvA ’ GvB - GvG _ GvA ' BG ’ 
Es besteht also die Gleichung 
AG GvB 
B X G[ — GvA 
AG 
BG 
und ebenso; 
AG 
BJC 
GvB AI) 
GvA ' BD ' 
Durch Division ergiebt sich die gesuchte Relation in der Form: 
A G . AJ\ _ AG_ , 
AG : BJG ~ BG : BD * 
330. Der Quotient ^ wird das Doppelverhältnis der 
vier Punkte A, B, C, H genannt und durch (AB CH) bezeichnet.