Perspektivität ebener Figuren. Harmonische Gebilde.
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233. D as Doppelverhältnis vier harmonischer Punkte
hat den Wert — 1 oder die Abstandsverhältnisse der
Punkte des einen Paares von den Punkten des anderen sind
entgegengesetzt gleich. Nach 219 besteht nämlich die Gleichung:
A 1 Q 1 AG DB
/>’, (\ ~ BG ' DA ’
(wo wir, wie oben, B statt G v geschrieben haben),
hier angenommen wird, ß q _ ß q
ist, so folgt:
AG _ AD_
~BG ~ BD
oder {ABGB) — — 1 .
Wenn nun, wie
Mit Bezug hierauf sagt man wohl auch: die Strecke AB (oder CB)
wird durch die Punkte C und B {A und B) harmonisch (d. i. innen
und außen nach demselben absoluten Verhältnis) geteilt. — Auf
der Verbindungslinie eines Punktpaares A, B gehört zu jedem ge
gebenen Punkte C ein bestimmter Punkt J), der mit C im Vereine
das Punktpaar A, B harmonisch trennt; insbesondere gehört zum
Mittelpunkte der Strecke AB der unendlich ferne Punkt und um
gekehrt; fällt C mit A oder B zusammen, so koinzidiert I) mit
demselben Punkte. — Daß unter den vier Punkten, ohne ihre harmo
nische Lage zu zerstören, die weiter oben angegebenen Vertauschungen
stattfinden können, drückt sich darin aus, daß man schreiben darf:
{AB CB) = {BACB) = {ABBG) = (.BABC) = {CB AB)
= {CBBA) = {BCAB) = {BCBA) = - 1.
323. Der Begriff des Doppelverhältnisses findet nicht allein An
wendung auf vier Elemente einer Punktreihe, sondern ebenso auch
auf vier Elemente eines Strahlbüschels oder Ebenenbüschels.
Wir definieren das Doppelverhältnis von vier Geraden eines
Büschels durch
, 7 A sm L ac sm L ad
[ab ca) — — ; — r --.
' sin log sm L_ bd
Dann läßt sich leicht zeigen; Das Doppelverhältnis von vier
Strahlen eines Büschels stimmt
überein mit dem von vierPunkten,
die auf ihnen von einer beliebigen
Geraden ausgeschnitten werden.
Die Strahlen ah cd mögen die Punkt
reihe AB CB (auf der Geraden g) aus
dem Centrum 0 projizieren und es sei
h = {° H ff) (Fig. 152). Das Doppelte ^
des Flächeninhaltes der Dreiecke OAC,
OBC, GAB, OBB läßt sich auf zweierlei Art ausdrücken; entweder
