bilde. 
Perspektivität ebener Figuren. Harmonische Gebilde. 161 
oder als Pro- 
ms des ein- 
der beiderlei 
Alles Gesagte läßt sich dahin zusammenfassen: Das Doppel- 
verhältnis von vier Elementen einer Punktreibe, eines 
Strahlbüschels, eines Ebenenbüschels bleibt ungeändert, 
wenn man auf diese Gebilde beliebig die Operationen des 
Projizierens oder Schneidens anwendet. 
und a x h x c x d x 
3n beide aus 
, so stimmt 
der darüber- 
der Satz: 
l r/ 1 in per- 
wendig und 
i seien, 
ier Ebenen 
Involutorische Grundgebilde. 
Wir knüpfen an die gewonnenen Resultate die Erörterung einer 
wichtigen speziellen Lagebeziehung an, die man zwischen Perspektiven 
einförmigen Grundgebilden hersteilen kann. 
337. Es seien zwei Perspektive Punktreihen gegeben. 0 sei 
das Perspektivitätscentrum, g und g x ihre Träger, U und U x die un 
endlich fernen Punkte derselben, G v und G ch die Gegenpunkte, end 
lich AB und A X B X zwei ent 
sprechende Strecken (Fig. 153). f 
Da die Punktreihen ABG V üund 
A 1 B x U x (t o0 perspektiv liegen, / \\ v / 
haben sie gleiches Doppelver- / \ \ Z 
s ABfzl ist 
von einer 
nämlich die 
les Ebenen- 
rerhältnisses 
. Az/, zL BA 
i. Daher ist: 
hältnis: / *>¿4'^ 
AG V BU A,U, B,G^ / A V 
BG V AU 3,0, A,G CC * # 
Folglich hat man, weil 09 / ' ' / # 
BU A,ü, 1 Fi g- 153. 
A U ~ B, U, " ‘ 
ist: AG V : BG V = B x G a2 : A x G a> . Hiernach sind ABG V und B x A 1 G co 
ähnliche Punktreihen und es ist auch: 
A X B X : AB = G co A x ; BG V — G co B x ; AG V , 
Sollen die entsprechenden Strecken AB und A X B X einander gleich 
werden, so muß eine der beiden Relationen 
ner Schnitt 
ab cd, denn 
die Schnitt- 
besclmeidet. 
Goa A x = BG V , G a ,B x = AG V 
erfüllt werden, woraus wegen der angenommenen Perspektivität die 
andere folgt. Damit irgend zwei entsprechende Strecken 
AB und A X B X in Perspektiven Punktreihen gleich seien, ist 
nur erforderlich, daß zwei nicht entsprechende Endpunkte 
Bf A und 
derselben bezw. vom Gegenpunkte ihrer Reihe den gleichen 
Abstand haben.- 
d x in per 
endig und 
seien. 
338. Trägt man also in den Perspektiven Reihen auf g und 
g x resp. von G v und G m nach beiden Seiten eine willkürlich ange 
nommene Strecke ab, und sind A und B, resp. B x und C x die sich 
Rohn u. Papperitz I. \ 1