Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
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als die Normale zu MO in dem mit 0 zu A und A x harmonisch 
gelegenen Punkte JE. Man bezeichnet diese durch die Lage des 
Punktes 0 vollständig bestimmte Gerade als die Polare des 
Punktes in Bezug auf den Kreis. 
343. Wird umgekehrt die Achse e 1 der Centralprojektion, durch 
welche der Kreis k in sich übergeführt werden soll, willkürlich ge 
geben, so wird das zugehörige Centrum 0 gefunden, indem man 
durch den Kreismittelpunkt M die Normale zu e x zieht und auf ihr 
den Punkt 0 bestimmt, welcher mit dem Achsenschnittpunkt E zu 
den Schnittpunkten A und A x mit dem Kreise harmonisch liegt. 
Dieser durch die Lage der Geraden e x bestimmte Punkt heißt der 
Pol der Geraden in Bezug auf den Kreis. 
344. Eine Centralprojektion in der Ebene heißt invo- 
lutorisch, wenn je zwei als Original und Bild einander zu 
geordnete Punkte sich vertauschbar entsprechen. Aus dieser 
Definition folgt unmittelbar: Jede Punktreihe, welche das Centrum 0 
enthält, liegt mit ihrem Bilde (ungleichlaufend) involutorisch; das 
Centrum und der Achsen Schnittpunkt bilden die Doppelpunkte der 
Involution. Jedes Strahlbüschel, welches die Achse e x enthält, liegt 
mit seinem Bilde (ungleichlaufend) involutorisch; die Achse und der 
Strahl durch das Centrum bilden die Doppelstrahlen der Involution. 
Die entsprechenden Elemente dieser Punktreihen und Strahlbüschel 
liegen nach 282 u. 237 durch die Doppelelemente harmonisch getrennt 
(z.B. P, P x , Q, 0, vgl. Fig. 163 u. 164). Da bei jedem Paare invo- 
lutorischer Punktreihen die Gegenpunkte G v und Gim Mittelpunkte 
der Involution vereinigt liegen, ergiebt sich ferner: Die Verschwin- 
dungs- und Fluchtlinie, e v und einer involutorischen Central 
projektion fallen in diejenige Parallele zur Achse zusammen, welche 
deren Abstand vom Centrum halbiert. 
345. Auf Grund der vorangehenden Erklärungen kann der in 
241 ausgesprochene Satz dahin vervollständigt werden; Ein ge 
gebener Kreis wird durch jede involutorische Centralpro- 
jection in sich übergeführt, deren Centrum 0 und Axe e x 
einander als Pol und Polare des Kreises entsprechen. Denn 
jede Punktreihe, die auf einer durch 0 gezogenen Sekante des Kreises 
liegt, hat mit ihrem (Perspektiven) Bilde ein Paar sich vertauschbar 
entsprechender Punkte (die Schnittpunkte mit dem Kreise) gemein 
und liegt daher (nach 230) mit ihrem Bilde involutorisch. — Ferner 
erkennt man unmittelbar die Richtigkeit des Satzes: Eine gegebene 
involutorische Centralproj ektion führt alleKreise der Ebene 
in sich über, für welche das Centrum und die Achse resp.