Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
178 
des Systems, so sind PQN und Q X P X N (nach 227) ähnliche Punkt- 
reihen, also ist: 
NQ.NQ l = NP. NP\ 
und folglich N ein Punkt der Chordale beider Kreise, w. z. b. w. 
347. Aus der letzten Relation folgt ferner; Zieht man von 
einem Punkte N der Chordale an alle Kreise des Systemes die 
Tangenten, so sind die Längen derselben (von Wbis zum Berührungs 
punkte gemessen) sämtlich gleich (= yNP. NPj), d. h. die Be 
rührungspunkte liegen auf einem neuen Kreise mit dem Centrum N. 
Dieser geht durch die Punkte 0 und P (die Nullkreise) und schneidet 
die Kreise des Systemes stets unter rechtem Winkel (d. h. in jedem 
Schnittpunkte stehen die beiderlei Kreistangenten aufeinander senk 
recht). Da der Punkt N auf der Geraden rn willkürlich angenommen 
werden darf, erhält man ein zweites System von unendlich vielen 
Kreisen, die sich wechselseitig in den zwei festen Punkten 
0 und P schneiden und die Kreise des ersten Systems rechtwin 
kelig kreuzen. Für diese Kreise bildet die Gerade l die gemeinsame 
Chordale; sie kann als der zum System gehörige Kreis mit unend 
lichem Radius aufgefaßt werden. Nullkreise treten hier nicht auf. 
348. Die betrachteten beiden Kreissysteme mit fester 
Chordale bezeichnet man als Kreisbüschel. Sie liefern die Hilfs 
mittel, um die in 237 aufgestellten Aufgaben zu lösen, die die 
Involution von Punkten betreffen. Sind nämlich in zwei invo- 
lutorischen Reihen P und P,, Q und Q x irgend zwei Paare ent 
sprechender Punkte, so gilt für den Mittelpunkt M der Involution 
die Beziehung; 
MQ.MQ. L = MP.MP X 
und folglich für einen Doppelpunkt U oder V derselben; 
MIß = MP 2 = MP • MP X . 
Ist nun die Involution auf der Geraden g durch die beiden Paare 
P und P x , Q und Q 1 gegeben und handelt es sich um die Kon 
struktion des Mittelpunktes, der Doppelpunkte und überhaupt ent 
sprechender Punktepaare, so schlage man über den Stecken PP X 
und QQ X a R Durchmessern Kreise p und q. Der Büschel der Kreise, 
die mit diesen beiden dieselbe Chordale haben, schneidet die Gerade 
g in den Punktepaaren der gegebenen Involution und insbesondere 
bestimmt die Chordale selbst den Mittelpunkt M der Involution auf 
g, denn für denselben und für irgend zwei entsprechende Punkte P 
und P x besteht die erste der obigen Relationen. Es sind aber zwei 
Fälle zu unterscheiden: entweder schneiden sich die Kreise p und 
q nicht (Fig. 166) und es liegen ungleichlaufende involutorische