176 Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
trachten, auch wenn die Linie PQ den Kreis nicht schneidet. Der 
genannte Satz kann statt der in 242 und 243 gegebenen Erklärungen 
als Definition von Pol und Polare heim Kreise dienen. 
352. Die Polare eines Punktes P wird am einfachsten con- 
struiert, indem man durch P irgend zwei Strahlen zieht, die den 
Kreis in R und S, resp. in R' und S' schneiden, hierauf die Ver 
bindungslinien RR' und SS', RS' und R'S miteinander in U resp. 
V schneidet und p = UV zieht. Letztere ist die gesuchte Polare, 
denn nach dem Satze vom vollständigen Viereck (209) schneidet sie 
die von P auslaufenden Strahlen in Q und Q' so, daß PQRS und 
PQ'R'S' harmonische Leihen sind. — Für die Konstruktion ist es 
gleichgültig, ob der Punkt P außerhalb oder innerhalb des Kreises 
gegeben wird. 
253. Aus der Bemerkung, daß harmonische Pole eines Kreises 
durch den Kreis voneinander getrennt werden, erkennt man so 
gleich; Liegt der Pol innerhalb des Kreises, so schneidet 
die Polare den Kreis nicht. Im Besonderen wird als Polare 
des Kreismittelpunktes die unendlich ferne Gerade der 
Ebene erhalten. Liegt der Pol außerhalb des Kreises, so 
schneidet die Polare denselben. Liegt endlich der Pol auf 
der Kreisperipherie, so ist seine Polare die Tangente des 
Kreises im Pole. Alsdann fällt nämlich der Pol P mit einem der 
beiden Schnittpunkte R und S einer jeden durch ihn gezogenen 
Kreissekante, und folglich auch mit dem auf ihr gelegenen harmonischen 
Pole Q zusammen; nur wenn die Sekante zur Tangente wird, fallen 
P, R und S zusammen und folglich ist jeder Punkt Q der Tangente 
ein harmonischer Pol von P. 
354. Ist T ein Schnittpunkt der Polare mit dem Kreise und 
zieht man seine Verbindungslinie mit dem Pole P, so fällt von deren 
Schnittpunkten mit dem Kreise der eine R und folglich wegen der 
harmonischen Lage) auch der andere S mit T zusammen; die Gerade 
PT wird zur Tangente. Daher der Satz: 
Die Schnittpunkte der Polare eines Punktes P mit dem 
Kreise sind die Berührungspunkte der aus P an ihn gelegten 
Tangenten. 
Liegen die Punkte Q und Q' auf der Polare des Punktes P und 
bestimmt man von beiden die Polaren q und q, so müssen sich 
dieselben in P schneiden; denn als harmonischer Pol von Q liegt 
P auf q und als harmonischer Pol von Qj auf q. Man folgert 
hieraus: 
Beschreibt ein Punkt Q eine Gerade p, so dreht sich