Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
179 
von k) Perspektive Figuren mit der Achse e x sein. Daß letzteres 
der Fall ist, kann einerseits aus 238 geschlossen werden; denn e x 
bildet die Chordale. Als Centrum der Projektion ergiebt sich der 
im Schnitt von e x mit der Centrale c liegende iihnlichkeitspunkt 0'. 
— Andererseits kann der Beweis für die Perspektivität von k und k’ 
auch leicht direkt 
geführt werden. 
Denn schneiden 
irgend zwei Strah 
len durch 0' den 
Kreis k in F resp. 
Q, k' in F' resp. 
Q', so ist das Pro 
dukt O'F-O'F' 
(oder 0' F ■ 0' R, 
vergl. Fig. 172) 
gleich der Potenz 
des Punktes F 
in Bezug auf k, 
also auch gleich 
O'Q-O'Q', d. h. die 
Punkte F, Q, P', Q' 
liegen auf einem 
Kreise und die 
Geraden PQ und F'Q' schneiden sich daher auf der Chordale von 
k und k'. Ist nun P x der in Bezug auf e x zu P' symmetrische 
Punkt (oder seine Umlegung um e x ) und schneidet FP X die Centrale c 
in 0, so folgt (nach 173), daß der Kreis k durch eine Central 
projektion mit dem Centrum 0 und der Achse e x in sich übergeht. 
Ist also Q x symmetrisch zu Q', so geht auch QQ X durch 0 und die 
Schnittpunkte S = FQ x F x Q x und T = FQ 1 x F X Q liegen auf der 
Achse e x . Nach dem Satze vom vollständigen Yierseit (212) folgt 
weiter, daß die Strahlen SP und SP X durch SO' und SO harmonisch 
getrennt werden, u. s. f. 
’358. Im Vorhergehenden sind Centralprojektionen in der Ebene 
behandelt worden, die einen Kreis in einen anderen Kreis oder in 
sich selbst überführen. Man kann von ihnen zu Centralprojektionen 
im Raume übergehen, die einen gegebenen Kreis in einen gegebenen 
anderen oder in einen kongruenten Kreis verwandeln. Denn denkt 
man sich für die Perspektive Lage zweier Kreise in einer Ebene 
oder für die eines Kreises mit sich selbst Centrum und Achse be- 
12*