200 Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
Mit Beziehung auf die Art der Involution harmonischer Pole, 
die eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel auf der unendlich fernen 
Geraden ihrer Ebene bestimmt, nennt man irgend eine Involution 
elliptisch, hyperbolisch oder parabolisch, je nachdem sie keine, 
zwei getrennte oder zwei vereinte Doppelelemente besitzt, 
291. Man kann den Beweis der obigen Sätze noch auf eine 
zweite Art ableiten. Statt der eingeschriebenen Vierecke PXQU,.,. 
benutze man die dem Kreise in denselben Punkten umgeschriebenen 
Vierseite pyqv, ... zur Konstruktion (Pig. 196), Der feste Punkt 
p X q und seine Gegenecken in den verschiedenen Vierseiten, x x u, 
y X v, . . ., liegen auf g. Die Verbindungslinien der beiden übrigen 
Gegeneckenpaare, p x u und q X x, p X x und q x u, . . . geben 
jedesmal durch S und gehören als harmonische Polaren a 1 und a, 
h x und h, . . . zusammen; sie schneiden auf g harmonische Pole A 
und Ä x , B und B x , ... aus. Hiernach entsprechen sich die Strahlen 
der am Scheitel S vereinigten Büschel ah .. . und a x h x ... ver 
tauschbar; daß sie zugleich 
projektiv sind und folglich 
involutorisch liegen, folgt 
aus dem Verhalten der 
Punktreihen, welche sie auf 
den Kreistangenten p und 
q bestimmen. Diese werden 
nämlich andererseits durch 
die wechselnden Tangenten 
x, y, ... ausgeschnitten und 
sind mithin projektiv (275). 
292. In den Beweis 
gründen der letzten Sätze 
sind folgende beachtens 
werte Resultate enthalten. 
Die Verbindungslinien 
beliebiger Punkte X, ¥,... 
eines Kegelschnittes mit 
zwei festen Punkten Q 
undA desselben, schnei 
den jede harmonische 
Polare p der Geraden 
QR in harmonischen 
Polen Ä und A v B und B v ... des Kegelschnittes (Fig. 197). 
Die Schnittpunkte beliebiger Tangenten x, y,... eines 
Ke 
gel 
vei 
Ke 
eim 
Bei 
Pol 
gur 
die 
Be 
sin 
Zui 
nüg 
Fig 
196 
in 
Pui 
und 
a, 
auc 
und 
geg 
Pol 
des 
spn 
2 
pur 
une 
Pui 
eim 
schi 
moi 
Hie 
Mi 
pai 
nei 
Po: 
die 
insl