Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
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Geraden bezüglich der Konstruktion entsprechender Punkte und 
speziell der Gegenpnnkte (siehe 189). Unter Zuhilfenahme eines 
Kegelschnittes wird die Überführung der Grundgebilde in eine neue 
Lage überflüssig. Als Hilfskegelschnitt wird man zweckmässig einen 
Kreis wählen; seine Wahl wird ohnehin da geboten sein, wo es sich 
um die Konstruktion entsprechender rechter Winkel handelt. Die 
anzugehenden Methoden lassen aber auch die Frage nach den sich 
selbst entsprechenden oder Doppelelementen beantworten, die bei 
projektiven Grundgebilden mit demselben Träger gerade durch ihre 
gegebene Lage bestimmt sind. 
330. Daß zwei auf einer Geraden g vereinigte projektive 
Punktreihen einen Doppelpunkt haben können, ist ersichtlich; denn 
man braucht ja nur eine derselben auf g zu verschieben, bis zwei 
gegebene entsprechende Punkte sich decken. Daß ferner den beiden 
Reihen nicht drei oder mehr Doppelpunkte zukommen können, ohne 
daß sie sich Punkt für Punkt decken, folgt aus 190. Demnach sind 
nur drei Fälle möglich: Zwei projektive Punktreihen auf einer 
Geraden haben entweder keinen, oder einen oder zwei 
Doppelpunkte. Welcher dieser Fälle eintritt, wird durch die 
folgende Konstruktion 
entschieden. Werden die 
beiden Reihen von zwei 
sich entsprechendenPunk- 
ten in entgegengesetztem 
Sinne durchlaufen, so 
müssen sich diese Punkte 
auf ihrem Wege zweimal 
begegnen. Daher folgt; 
Zwei ungleichlau 
fende projektive 
Punktreihen auf einer 
Geraden besitzen 
stets zwei Doppel 
elemente. Von projek 
tiven koncentrischen 
Strahlbüscheln gilt 
aus ähnlichen Gründen Fig. 212. 
dasselbe. 
331. Zwei projektive Strahlbüschel mit demselben 
Scheitel S seien durch die sich entsprechenden Strahlen a, b, c 
und a v b lf c x gegeben (Fig. 212). Man lege durch S einen beliebigen