Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
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und C 2 , I) 2 , E v deren Doppelpunkte U und V zu bestimmen sind. 
Da sich in diesen Doppelpunkten entsprechende Strahlen der er 
zeugenden Büschel treffen, so gehören sie dem Kegelschnitte an, bilden 
also die Lösung der Auf 
gabe. Letztere erfordert 
es nicht, den definierten 
Kegelschnitt selbst zu 
verzeichnen (Fig. 218). 
330. Analog wird 
die Aufgabe behandelt: g 
Aus einem gegebenen 
Punkte S an einen 
durch fünf Tangenten 
a, h, c, d, e bestimmten Kegelschnitt die Tangenten zu 
ziehen. Die Schnittpunkte zweier der gegebenen Tangenten, z. B. 
a und b, mit den drei übrigen, c, d, e, bilden die erzeugenden 
Punktreihen und bestimmen mit S als Scheitel zwei vereinigte pro 
jektive Strahlbüschel, deren Doppelstrahlen u und v die gesuchten 
Tangenten sind. Hier wie dort können sich je nach der Lage von 
g oder S gegen den Kegelschnitt zwei getrennte, zwei vereinte oder 
keine Doppelelemente als Lösung ergeben. 
331. Die Schnittpunkte der gegebenen Geraden g mit dem 
Kegelschnitte ÄBCDE lassen sich auch als Doppelpunkte der auf 
g bestimmten Involution harmonischer Pole konstruieren und ebenso 
die aus dem gegebenen Punkte S an den Kegelschnitt abcde ge 
zogenen Tangenten als Doppelstrahlen der Involution harmonischer 
Polaren am Scheitel S. Die erste der gedachten Konstruktionen 
beruht auf der Bestimmung der Polare eines gegebenen Punktes 
in Bezug auf den Kegelschnitt ABCDE, welche im Folgenden an 
gegeben werden soll. Sind nämlich P und Q irgend zwei Punkte 
auf g, so schneiden ihre Polaren p und q auf g die harmonischen 
Pole P 1 und Q x aus, die in Verbindung mit den angenommenen 
Punkten P und Q die zu benutzende Involution bestimmen. Die 
zweite Konstruktion führt auf die Bestimmung des Poles einer ge 
gebenen Geraden in Bezug auf den Kegelschnitt abcde zurück. 
Zieht man nämlich durch den Punkt S zwei Strahlen p und q und 
bestimmt ihre Pole P und Q, so bestimmen die Verbindungslinien 
p x = PS und q x — QS mit p und q die Strahleninvolution, deren 
Doppelstrahlen zu suchen sind. 
333. Die Polare eines Punktes P in Bezug auf einen 
durch fünf Punkte ABCDE gegebenen Kegelschnitt k wird