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Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
dem Schnittpunkte {G x = 11) der Träger entsprechenden Berührungs 
punkte G und E 1 und ziehe durch sie die Parallelen K und g, 
h" und g" resp. zu h und g. (Big. 224 und 225). Der unendlich 
ferne Punkt jeder Reihe ist ein äußerer Punkt des Kegelschnittes 
(siehe 288), denn durch V gehen die Tangenten g und g', durch 
U x die Tangenten h und h\ Die unendlich ferne Gerade liegt 
außerhalb des von den parallelen Tangenten gebildeten Streifens. 
Da nun in einem Büschel, dessen Scheitel außerhalb des Kegel 
schnittes liegt, die schneidenden Geraden von den nicht schneidenden 
durch die beiden in ihm enthaltenen Tangenten getrennt werden, 
so schneidet die unendlich ferne Gerade die Kurve nicht, wenn die 
Sekante g” zwischen g und g' (oder h" zwischen h und h') liegt und 
schneidet sie im entgegengesetzten Falle. Daher folgt: 
Zwei projektive Punktreihen in schiefer Lage erzeugen 
eine Ellipse oder Hyperbel, je nachdem in einer der Reihen 
der Berührungspunkt zwischen ihrem Gegenpunkt und 
ihrem Schnittpunkt mit der anderen Reihe liegt oder nicht. 
Eine Parabel entsteht, wenn der Gegenpunkt unendlich 
fern liegt. 
Gesetz der Dualität. Reciprokalfiguren in Bezug auf einen Kegel 
schnitt. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Lösungen. 
339. In den vorausgehenden Entwickelungen weist die öfters 
bemerkbare paarweise Gegenüberstellung von Sätzen auf ein all 
gemeines geometrisches Gesetz hin, welches die ebenen sowohl wie 
die räumlichen Figuren beherrscht: das Gesetz der Dualität. 
Seine Bedeutung besteht darin, daß aus jedem synthetisch-geometri 
schen Satze sofort ein anderer abgeleitet werden kann, indem man 
gewisse sich entsprechende Begriffe durcheinander ersetzt. Es nimmt 
zwei verschiedene Formen an, je nachdem man Figuren in der 
Ebene oder im Raume betrachtet. 
340. I n der Ebene bilden der Punkt und die Gerade 
die sich dual entgegenstehenden Begriffe, weil beide für die 
Zusammensetzung der ebenen Gebilde als Elemente betrachtet werden 
können und weil die hierbei allein zur Geltung kommenden Grund 
gesetze: 
Zwei Punkte bestimmen Zwei Gerade bestimmen 
eine Gerade; einen Punkt; 
durch die Vertauschung beider Begriffe auseinander hervorgehen.