Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
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Man folgert hieraus, daß die Reciprokalkurve eine Hyperbel, Parabel 
oder Ellipse wird, je nachdem das Centrum M des Leitkreises k 
außerhalb, auf oder innerhalb der Peripherie des gegebenen Kreises 
liegt. 
345. Eine Konstruktion, die nur gerade Linien benutzt, 
heißt linear; ihr Resultat ist unzweideutig bestimmt. Bei allen 
Aufgaben, die nur eine bestimmte Lösung zulassen, darf man um 
gekehrt stets eine lineare Konstruktion erwarten; sie heißen Auf 
gaben ersten Grades. Probleme dagegen, zu deren Lösung ein 
Kegelschnitt erforderlich ist, besitzen im allgemeinen zwei Lösungen 
und heißen Aufgaben zweiten Grades, zu ihrer Konstruktion be 
dient man sich in der Regel eines Kreises. Da die Gerade und 
der Kreis die einzigen Gebilde sind, die sich unmittelbar zeichnen 
lassen, so ist klar, daß man jede kompliziertere Aufgabe auf solche 
vom ersten und zweiten Grade zurückzuführen suchen muß. Wir 
haben uns hier nur mit den letzteren zu beschäftigen. 
846. Für alle Probleme zweiten Grades bilden die fol 
genden zwei die Grundlage: 
die Schnittpunkte eines die Tangenten an einen 
Kegelschnittes (Kreises) mit Kegelschnitt (Kreis) aus 
einer gegebenen Geraden zu einem gegebenen Punkte zu 
bestimmen; bestimmen; 
sie stehen einander dual gegenüber und lassen sich unter einem ge 
meinsamen Gesichtspunkte betrachten. Ihre Lösungen bilden näm 
lich bezw. 
die Doppelpunkte der In- die Doppelstrahlen der In 
volution, welche der Kegel- volution, welche der Kegel 
schnitt auf der gegebenen schnitt an dem gegebenen 
Geraden bestimmt; Punkte bestimmt. 
Die Fundamentalaufgabe lautet daher in allgemeinster Fassung so: 
Gegeben sind zwei projektive einförmige Grundgebilde 
mit demselben Träger; man soll ihre Doppelelemente kon 
struieren. 
347. Denkt man sich die gegebenen Gebilde nach analytischer 
Methode durch Gleichungen zwischen den Koordinaten ihrer Punkte 
oder Geraden dargestellt, so wird jedes geometrische Problem ab 
hängig von der Auflösung gewisser Gleichungen. Die uns vor 
liegenden Aufgaben zweiten Grades im Besonderen führen aut 
algebraische Gleichungen zweiten Grades mit reellen Koeffizienten.