Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
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schnitt nicht schneidet, also wenn ihr Pol m x rri ein innerer Punkt 
ist. In diesem Palle aber hat jede der Involutionen ein reelles 
Doppelpunktepaar und die Punkte des einen trennen die des anderen. 
Dieses Ergebnis überträgt sich auf Paare von Punktinvolutionen auf 
einer Geraden oder von Strahleninvolutionen an einem Scheitel, 
denn um an ihnen die entsprechenden Konstruktionen auszuführen 
muß mau, wie oben gezeigt wurde, zu Involutionen auf einem Hilfs 
kegelschnitte übergehen. Daher gilt allgemein der Satz: 
Zwei Involutionen auf demselben Träger haben ein 
Elementenpaar gemeinsam, welches reell ist, sobald nicht 
beide Involutionen reelle Doppelelemente haben, die ein 
ander wechselseitig trennen; in letzterem Palle ist das ge 
meinsame Paar imaginär. Im Besonderen können die beiden 
Involutionen ein Doppelelement gemein haben. Das ge 
meinsame Paar liegt zu den Doppelelementen beider In 
volutionen harmonisch. 
Perspektive Kegelschnitte. Gemeinsame Elemente zweier Kegel 
schnitte. Büschel und Scharen von Kegelschnitten. 
355. Liegen zwei Kegelschnitte einer Ebene k und k x 
perspektiv, so bestimmen beide an dem Centrum 0 der 
Perspektive dieselbe Involution harmonischer Polaren und 
auf ihrer Achse a dieselbe Involution harmonischer Pole. 
Denn hei der gedachten Centralkollineation entsprechen die Strahlen 
durch 0 und die Punkte auf a sich seihst und zugleich gehen har 
monische Polaren oder Pole des Originalkegelschnittes in harmonische 
Polaren oder Pole seines Bildes über. 
356. Umgekehrt gelten für zwei gegebene Kegelschnitte einer 
Ebene die folgenden dualen Sätze: 
Bestimmen zwei Kegel 
schnitte k und k x an einem 
Scheitel 0 dieselbe Involu 
tion harmonischer Polaren, 
ist ferner eine, und folglich 
jede durch 0 gezogene Se 
kante von k gleichzeitig Se 
kante von k x , so bildet 0 das 
Centrum zweier Projek 
tionen mit den Achsen a und 
a, die k in k x überführen. 
Bestimmen zwei Kegel 
schnitte k und k x auf einer 
Geraden a dieselbe Involu 
tion harmonischer Pole, ist 
ferner ein, und folglich j eder 
äußere Punkt von k auf a 
gleichzeitig äußerer Punkt 
von k x , so bildet a die Achse 
zweier Projektionen mit den 
Centren 0 und O', die k in k x 
überführen.