Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 237 
Tangenten aus dem Centrum 0 (als Doppelelemente der gemein 
samen Polareninvolution) in sich über und endlich entsprechen sich 
deren auf o und o 1 gelegene Berührungspunkte T und 1\, U und U v 
Da die Elemente P (oder P'), t, u, T, U den Kegelschnitt k, die 
ihnen entsprechenden P 1 , t, u, 1\, U x den Kegelschnitt k x vollständig 
bestimmen, so geht der eine aus dem anderen durch jede der beiden 
Kollineationen hervor. — Hierdurch ist der erste Teil des obigen 
Doppelsatzes bewiesen; der Beweis des zweiten Teiles ergiebt sich 
aus dem Prinzip der Dualität. 
858. Sind 8 und Qj (Fig. 231) die Schnittpunkte von o mit 
den Strahlen m und RR', so ist OSPP' eine harmonische Reihe und 
ebenso Q X Q'RR', weil sie mit der vorigen aus dem Centrum Q per- 
spektiv liegt. Hieraus folgt, daß a und a zu o und o l harmonisch 
liegen. Umgekehrt ergehen sich zur Achse a zwei Kollineations- 
centra 0 und 0' auf m, welche die Pole Ä und A 1 von a in Bezug 
auf beide Kegelschnitte harmonisch trennen. Von den beiden zum 
Centrum 0' gehörigen, in M sich schneidenden Kollineationsachsen 
ist eine mit a identisch; daß die andere mit a zusammenfällt er 
kennt man folgendermaßen. Jede Kollineationsachse trägt zwei 
(reelle oder imaginäre) Schnittpunkte von k und k r Sollen drei 
solche Achsen durch einen reellen Punkt M gehen, so müßte dieser 
ein Schnittpunkt von k und k x sein und auf jeder der drei Achsen 
noch ein weiterer reeller Schnittpunkt liegen. Da aber dem Punkte 
M in Bezug auf beide Kegelschnitte dieselbe Polare m zukommt, 
so müßten diese im gemeinsamen Punkte M zugleich dieselbe Tangente 
rn besitzen, d. h. h und k x würden Zusammenfällen. 
359. Aus der Verbindung der Sätze in 256 folgt hiernach: 
Jedes der beiden Centren 0 und 0' kann mit jeder der 
beiden Achsen a und a kombiniert werden, so daß sich 
vier Kollineationen ergeben, die k in k x überführen. Die 
Achsen a und a liegen harmonisch zu den Polaren von 0 
und zu denen von 0', die Centren 0 und 0' liegen harmo 
nisch zu den Polen von a und zu denen von a in Bezug 
auf beide Kegelschnitte. Der Achsenschnittpunkt M und 
die Verbindungslinie m der Centren entsprechen sich als 
Pol und Polare in Bezug auf beide Kegelschnitte zugleich. 
Die Centra 0 und 0' bilden zwei Gregenecken eines beiden Kegel 
schnitten gemeinsam umschriebenen Vierseits tut’u', dessen Seiten 
reell oder imaginär sein können. Ebenso bilden die Achsen a und 
a zwei Gegenseiten eines beiden Kegelschnitten gemeinsam einge 
schriebenen Vierecks.