260 Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
Hiernach gilt der Satz: 
Für jeden Punkt P einer Ellipse oder Hyperbel ist 
die Summe, bezw. Differenz seiner Entfernungen von zwei 
festen Punkten F 1 und F 2 der großen, resp. der reellen 
Achse (den Brennpunkten) konstant, nämlich dieser Achse 
gleich. Jeder Punkt einer Parabel ist gleichweit entfernt 
von einem festen Punkte F ihrer Achse (Brennpunkt) und 
einer zu ihr senkrechten Geraden d (Leitlinie, Direktrix). 
Jeder Brennpunkt eines Kegelschnittes bildet den Be 
rührungspunkt seiner Ebene mit einer Kugel, die irgend 
einem den Kegelschnitt projizierenden ßotationskegel ein- 
heschrieben ist. 
Nachdem uns die voranstehende einfache Betrachtung direkt 
zu dem Begriffe der Brennpunkte eines Kegelschnittes geführt hat, 
gehen wir zur näheren Besprechung der Eigenschaften dieser Punkte 
und der zu ihnen gehörigen Leitlinien über, legen aber der Unter 
suchung eine andere, allgemeine Eigenschaft der Brennpunkte als 
Definition zu Grunde. 
389. Ein Punkt der Ebene, an dem die harmonischen 
Polaren eines Kegelschnittes eine Involution rechter 
Winkel bilden, heißt ein Brennpunkt (Fokus) desselben 
und seine Polare eine Leitlinie (Direktrix). 
Im Endlichen finden sich Brennpunkte nur auf einer der Achsen 
des Kegelschnittes k. Denn ist F ein Brennpunkt, a der ihn ent 
haltende Durchmesser und h sein konjugierter, so steht in F die 
konjugierte Polare zu a auf a senkrecht und da sie zugleich parallel 
zu b läuft, sind a und b die Achsen. Sind c und d irgend zwei 
konjugierte Durchmesser, so liegen die Pole aller Parallelen zu c 
auf d\ fällt man aus ihnen Lote auf diese Parallelen, so erhält 
man zwei projektive Parallelenbüschel von der Eigenschaft, daß die 
Strahlen des einen denen des anderen konjugiert sind und zugleich 
auf ihnen senkrecht stehen. Diese Büschel schneiden auf einer der 
Achsen, a oder b, zwei projektive Punktreihen aus und zwar liegen 
diese involutorisch, da in jeder Achse der Mittelpunkt und der un 
endlich ferne Punkt sich vertauschbar entsprechen. In den beiden 
Doppelpunkten F und F' der Involution auf einer Achse schneidet 
sich aber je ein Strahl des einen Büschels mit dem rechtwinkligen 
konjugierten des anderen; daher sind F und ¥ Brennpunkte des 
Kegelschnittes. 
Ein reeller Brennpunkt kann nur im Inneren des Kegelschnittes 
liegen; denn ein Punkt, von dem reelle Tangenten ausgehen, kann