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Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
und der unendlich ferne Punkt von t, ebenso wie Ä' und B aus 
M 2 durch rechtwinklige Strahlen projiziert werden, so gilt dies auch 
von L und T v resp, B und T x . Demnach ergiebt sich folgende 
Konstruktion (Fig. 271). 
Man trage von 0 aus auf die Tangente OL' = MD und auf 
die Normale OM 2 — MP ab, ziehe zu L'M 2 die Senkrechte durch 
M 2 , welche die Tangente in schneidet. Das Lot aus T n auf 
OQ gefällt, schneidet die Normale im Krümmungsmittelpunkt K v 
409. Trägt man von 0 aus auf die Tangente t die Strecke 
MP beiderseits bis P' resp. B ab, so entsprechen sich P' und B 
in der Involution und man hat: 
MI). OT K = MP 2 , 
denn ¿_ P'M 2 B ist ein rechter Winkel. Ferner ist A OLM~ A OK x 
also: 
OK x = Olj 
MD _ MPj 
OD ~ ~Ö.D' 
Bezeichnet man daher mit p und q die Längen zweier konjugierter 
Halbmesser der Ellipse, mit p x und q l ihre senkrechten Abstände 
von den Endpunkten des konjugierten, endlich mit r und s die zu 
diesen Endpunkten gehörigen Krümmungsradien, so hat man: 
Gehen die konjugierten Durchmesser in die Achsen über, so er 
geben sich für die Krümmungshalbmesser in den Scheiteln der 
Ellipse die Relationen; 
a 2 b 2 
r — ~T~ j 8 = —. 
b a 
410. Aus diesen Bemerkungen folgen neue Konstruktionen 
der Krümmungscentra bei der Ellipse. 
Sind OQ und Pli als konjugierte Durchmesser gegeben und ist 
S der vierte Eckpunkt des Parallelogramms OMPS, ist ferner 0' 
die senkrechte Projektion von 0 auf PR, P' die von P auf OQ, so 
ziehe man die Strecken 00" und PP" resp. den Strecken 00' und 
PP' gleich und entgegengesetzt gerichtet und SÄ 1 J_ 0"S resp. 
SK 2 _J_ P"S\ dann sind K x auf 00' und K 2 auf PP' die Krümmungs 
mittelpunkte für 0 und P. 
Der Beweis folgt aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke 
I^OS und SOO" mit den Kathetenpaaren r, p und p, q v sowie der 
Dreiecke K 2 PS und SPP" mit den Kathetenpaaren s, q und q, p x 
(Fig. 272).