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Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
Werden nämlich S auf t und E auf u durch irgend eine vierte 
Tangente w ausgeschnitten, so schneiden sich FE und QS auf TU 
in N (Fig. 275a) und man hat: FT: UE = TS: QU, oder: 
PT. QU — ST. EU. 
Läßt man hei einer Ellipse die Gerade v parallel zu TU 
werden, so findet man den konstanten Wert des Produktes: 
FT.QU= P, 
wo 2 b den zu TU =2 a konjugierten Durchmesser bezeichnet. Gehen 
t, u, v, w in die vier Scheiteltangenten der Ellipse über (Fig. 275h), 
so bedeuten a und b die Halbachsen. 
Läßt man dagegen bei der Hyperbel die Gerade v in eine 
Asymptote übergehen, so ergiebt sich, da jetzt PT und QU ent 
gegengesetzte Richtung haben: 
PT. QU= - P, 
wo 2 b die Länge der Tangenten in den Endpunkten des Durch 
messers TU =2 a zwischen den Asymptoten bezeichnet. Gehen 
speziell t, u, v, w in die Scheiteltangenten und Asymptoten über 
(Fig. 275 c), so bedeutet a die reelle und b die sogenannte imaginäre 
Halbachse der Hyperbel. 
414. Es seien MX und MY konjugierte Durchmesser des Kegel 
schnittes und MY parallel zu t und u. Wir legen ihnen (wie in 
der Figur durch Pfeile angedeutet) einen bestimmten Durchlaufungs- 
sinn bei. Die parallel zu MX resp. zu MY gemessenen Abstände 
irgend eines Punktes der Ebene von MY resp. MX nennen wir 
seine Koordinaten x, y und geben ihnen das positive oder negative 
Vorzeichen, je nachdem sie mit MX und MY von gleichem Sinn 
sind oder nicht, X und Y seien die unendlich fernen Punkte der 
betrachteten konjugierten Durchmesser. Letztere würden in der 
Sprache der analytischen Geometrie als Achsen des schiefwinkligen 
Koordinatensystems zu bezeichnen sein und ihr Schnittpunkt M 
als Koordinatenanfangspunkt. 
Das Dreieck PQY ist dem Kegelschnitt umschrieben; die Ver 
bindungslinien seiner Ecken mit den Berührungspunkten der Gegen 
seiten: PU, QT, YV schneiden sich daher in einem Punkte L (269). 
Ist daher noch K=MX.x YV, so ergeben sich die Beziehungen: 
KL 
TP 
KU _ VQ _ LV 
Tü~ PQ ~ TP ’ 
also KL = LV] 
KIP KU.TK 
KL TK 
UQ ~ TU 
und hieraus; 
TP. ÜQ ~ TU 2 ' 
Setzt man x, y als Koordinaten des Kegelschnittpunktes V, so hat 
man MK — x, KV = 2 . KL = y, KU — a — x, TK — a + x, und über-