Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 279 
dies TP. UQ — + b 2 , je nachdem eine Ellipse oder Hyperbel vor 
liegt. Demnach erhält man; 
als Gleichung der Ellipse und: 
x 2 y 2 .j 
a 1 D 
als Gleichung der Hyperbel, beide bezogen auf zwei konjugierte 
Durchmesser (oder speziell die Achsen) als Koordinatenachsen. 
Aus 395 folgt für die Ellipse, daß der Abstand ihrer reellen 
Brennpunkte von den Scheiteln der Nebenachse b der halben 
Hauptachse a gleich, folglich ihr Abstand vom Mittelpunkt 
e — + ]/ a 2 — b 2 
ist. — Wendet man andererseits den Satz in 398 auf eine Scheitel 
tangente der Hyperbel an, so ergiebt sich der Mittelpunktsabstand 
ihrer Brennpunkte 
e — ± ]/ o 2 + b 2 . 
Hiernach können die Brennpunkte beider Kegelschnitte leicht aus 
den gegebenen Achsen konstruiert werden. 
415. Konstruktion der Ellipse aus den Achsen. Es 
seien OÄ = a, OP = b (Fig. 276a) die gegebenen Halbachsen einer 
Ellipse h. Man schlage 
um 0 zwei Kreise ,k x und 
k 2 resp. vom Radius a 
und b. Jeder von ihnen 
kann als zur gesuchten 
Ellipse affingelegen gel 
ten, wenn man den Halb- ( 
achsen der letzteren die 
auf ihnen gelegenen Ra 
dien von k x und k 2 zu 
ordnet, also A ÄOP ent 
weder zu A Ä x OP x oder 
zu A entspre 
chend setzt, wobei jedes 
mal ein Paar affiner Strecken zusammenfällt. Die Affinitätsachse 
ist entweder OÄ oder OP, die Affinitätsstrahlen sind in beiden 
Fällen zu ihr rechtwinklig. — Zu einem Punkte P x auf k l wird 
der affine Ellipsenpunkt P auf P x 8 X OÄ mittels der Beziehung 
PS: P X S = PO; P x O = P 2 0:P x 0 
gefunden, indem man P x O mit k 2 in P 2 schneidet und P 2 P\\OS zieht.