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Ebene und Raumkurven. 
übrigen Kurvenpunkte. Solche Punkte heißen isolierte Punkte und 
sind als Doppelpunkte aufzufassen, durch die indeß keine reellen 
Kurvenäste hindurchgehen. 
Konstruktion von Tangenten und Normalen. 
431. In vielen Fällen lassen sich direkt aijs der geometrischen 
Definition einer Kurve beliebig viele Punkte derselben und in ihnen 
die Tangenten konstruieren. Vermittelst dieser Punkte und Tangenten 
oder auch der Punkte allein kann dann die Kurve mit ziemlicher 
Genauigkeit gezeichnet werden, wenn sie in den Punkten und 
Tangenten stetig ist, und nur mit solchen Kurven werden wir es 
zu thun haben. Durch Übung erlangt man ein so empfindliches 
Gefühl für den stetigen Verlauf einer Kurve, daß man sich schon 
mit verhältnismäßig wenigen Punkten begnügen kann und gleichwohl 
eine genaue Zeichnung der Kurve gewinnt. Dabei ist zu bemerken, 
daß man gut thut, dort wo die Kurve schärfer gekrümmt ist, mehr 
Punkte zu bestimmen als wo sie nur wenig gekrümmt ist. Da die 
Bestimmung einzelner Kurvenpunkte immer mit geringen Fehlern 
behaftet ist, so kann es, wenn zu viele Punkte bestimmt sind, Vor 
kommen, daß eine durch diese Punkte gezogene Kurve eine fehler 
hafte wellige Form annimmt; die Kurve muß dann so gezeichnet 
werden, daß sie einen richtigen Eindruck macht, wobei die be 
stimmten Punkte teils auf der Kurve, teils rechts und links in kleinen 
Abständen — den Fehlern entsprechend — liegen müssen. Im all 
gemeinen ist es zweckmäßig außer Punkten auch einige Tangenten, 
und wo es leicht ausführbar ist, Krümmungskreise aufzusuchen. 
482. Liegt nun eine Kurve gezeichnet vor, so läßt sich die 
Aufgabe lösen, von einem Punkte Ä an dieselbe die Tangente 
t zu legen und deren Berührungspunkt B zu bestimmen. 
Die Tangente zieht man direkt durch Anlegen des Lineals, 
was sich leicht mit großer Schärfe 
ausführen läßt. Dagegen wird ihr 
Berührungspunkt B ungenau; durch 
Bestimmung einer durch ihn ver 
laufenden Fehlerkurve kann er 
indessen mit ziemlicher Genauigkeit 
gefunden werden. Zieht man nämlich 
durch Ä mehrere Sehnen — gewöhnlich zwei oder drei — die der 
Tangente ziemlich nahe liegen, so liegen ihre Mittelpunkte auf einer