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Ebene und Baumkurven. 
Länge eines Kreisbogens und y der zugehörige Centriwinkel, so 
hat man; k = und diese letztere Definition gilt ganz ebenso, 
wenn der Kreisbogen und damit der zugehörige Centriwinkel un 
endlich klein werden. 
Die Schenkel des genannten Centriwinkels sind aber nichts 
anderes als die Normalen in den Endpunkten des Kreisbogens l, 
und der Winkel dieser Normalen ist auch gleich 
groß mit dem Winkel der Tangenten in den 
Endpunkten des Bogens l. Diese Verhältnisse 
lassen sich nun sofort auf beliebige Kurven über 
tragen, bei denen sich freilich die Krümmung 
von Stelle zu Stelle ändert. Man nennt deshalb den Ausdruck: 
k = -y die mittlere Krümmung eines Kurvenbogen's von der 
Länge l, dessen Endtangenten den Winkel y einschließen. 
Geht man zur Grenze über, indem man den Kurvenbogen un 
endlich klein, d. h. zum Kurvenelement e werden läßt, wobei 
dann der Winkel der Endtangenten zum Winkel zweier Nachbar 
tangenten oder Kontingenzwinkel e wird, so heißt: k — -- 
die Krümmung der Kurve in dem betreffenden Punkte. 
Ändert sich die Krümmung einer Kurve stetig, wenn der zu 
gehörige Punkt sich stetig auf der Kurve fortbewegt, so heißt die 
Kurve stetig in Bezug auf ihre Krümmung und nur mit solchen 
Kurven haben wir es in unseren Problemen zu thun. Auch diese 
Eigenschaft der Kurven bleibt bei einer Projektion ungeändert. 
443. Für das Weitere wird es gut sein folgende Bemerkungen 
vorauszuschicken. Ist ein Kurvenbogen AB gegeben und soll man den 
Winkel der Tangenten in den Endpunkten bestimmen, so verschlägt 
es nichts, wenn man an Stelle der Tangenten in A und B die Se 
kanten AA X und BB X zu Grunde legt, wobei AA X und BB X unendlich 
klein sind. Denn diese Sekanten bilden nur einen unendlich kleinen 
Winkel mit den entsprechenden Tangenten, so daß der begangene 
Fehler als unendlich kleine Größe gegenüber dem endlichen Winkel 
vernachlässigt werden kann. Ist dagegen der Bogen AB bereits 
unendlich klein, also auch der Winkel der Endtangenten ein un 
endlich kleiner Kontingenzwinkel, so darf man nur Fehler be 
gehen, welche von höherer Ordnung unendlich klein sind als der 
gesuchte Kontingenzwinkel. Teilt man aber den Bogen AB in 
n Teile und läßt die Zahl n über jede Grenze hinaus wachsen, 
wobei AA X den ersten Teil, BB X einen gleichen Teil darstellt,